Более сложные задачи теории массового обслуживания

Здесь мы рассмотрим вопросы, относящиеся к немарковским СМО. До этого все формулы выводились на основе схемы гибели и размножения, формулы Литтла и дифференцирования.

До сих пор рассматривались только простейшие СМО, для которых все потоки событий, перевод их из состояния в состояние, были простейшими. Для немарковских СМО существуют только отдельные, считанные результаты, позволяющие выразить в явном, аналитическом виде характеристики СМО через заданные условия задачи – число каналов, характер потока заявок, распределения времен обслуживания. Рассмотрим некоторые результаты.

n-канальная СМО с отказами, с простейшим потоком заявок и произвольным распределением времени обслуживания.

Формулы 11 и 12, полученные в 1.10.1 для финальных вероятностей состояний СМО с отказами, справедливы не только при показательном, но и при произвольном распределении времени обслуживания. Это доказал Б.А.Севастьянов в 1959г.

Одноканальная СМО с неограниченной очередью, простейшим потоком заявок и произвольным распределением времени обслуживания.

Если на одноканальную СМО с неограниченной очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью , а время обслуживания имеет произвольное распределение с математическим ожиданием и коэффициентом вариации _, то среднее число заявок в очереди равно:

, (30)

а среднее число заявок в системе

, (31)

где, как и ранее , а _ - отношение среднеквадратического отклонения времени обслуживания к его математическому ожиданию. Формулы (30, 31) носят название формул Полячека – Хинчина.

Деля L_ОЧ и L_СИСТ на , получим, согласно формуле Литтла, среднее время пребывания заявки в очереди и среднее время пребывания в системе:

, (32)

. (33)

Заметим, что в частном случае, когда время обслуживания – показательное, _ = 1 и формулы 30, 31 превращаются в уже знакомые формулы для простейшей одноканальной СМО (19, 23).

Одноканальная СМО с произвольным потоком заявок и произвольным распределением времени обслуживания.

Рассматривается одноканальная СМО с неограниченной очередью, на которую поступает произвольный рекуррентный поток заявок с интенсивностью  и коэффициентом вариации _ интервалов между заявками, заключенных между нулем и единицей. Время обслуживания T_об также имеет произвольное распределение со средним значением и коэффициентом вариации _, тоже заключенным между нулем и единицей. Для этого случая точных аналитических формул получить не удается, можно только приближенно оценить среднюю длину очереди, ограничить ее сверху и снизу.

Доказано, что в этом случае

(34)

Если входящий поток – простейший, то обе оценки – верхняя и нижняя – совпадают, и получается формула Полячека-Хинчина (30). Для грубо приближенной оценки средней длины очереди М.А.Файнбергом получена простая формула:

.

Среднее число заявок в системе получается из L_ОЧ простым прибавлением  - среднего числа обслуживаемых заявок:

.

Что касается средних времен пребывания заявки в очереди и в системе, то они вычисляются через L_ОЧ и L_СИСТ по формуле Литтла делением на .

Таким образом, характеристики одноканальных СМО с неограниченной очередью могут быть (если не точно, то приближенно) найдены и в случаях, когда потоки заявок и обслуживаний не являются простейшими.

Возникает естественный вопрос: а как же обстоят дело с многоканальными немарковскими СМО?

Точных аналитических методов для таких систем не существует. Единственное, что всегда можно найти, это среднее число занятых каналов . Что касается L_ОЧ, L_СИСТ, W_ОЧ, W_СИСТ, то для них таких общих формул написать не удается.

Правда, если каналов действительно мало (4-5 или больше), то непоказательное время обслуживания не так важно: был бы поток простейшим. Действительно, общий поток «освобождений» каналов складывается из потоков освобождений отдельных каналов, а в результате такого наложения («суперпозиции») получается, поток, близкий к простейшему. Так что в этом случае замена непоказательного распределения времени обслуживания показательным приводит к сравнительно малым ошибкам. Обычно входной поток заявок во многих задачах практически близок к простейшему.

Значительно хуже, если входной поток заведомо не простейший. В этом случае необходимо подобрать две одноканальные СМО, из которых одна по своей эффективности заведомо «лучше» данной многоканальной, а другая – заведомо «хуже» (очередь больше, время ожидания больше). Таким образом, получая характеристики одноканальной СМО на основе известных, рассмотренных нами, способов, можно получить «оптимистические» и «пессимистические» оценки характеристик эффективности рассматриваемой СМО.

Лабораторный практикум - 5 часов, 1 работа.

Работа 1. Исследование марковских процессов и решение оптимизационных моделей.

Работа выполняется индивидуально на ПЭВМ. Целью работы является закрепление знаний обучающихся теоретических основ теории марковских процессов и привитие им навыков анализа этих процессов, а также решения оптимизационных задач средствами ЭВМ.

Управление самостоятельной работой студента - 8 часов.

Проводятся консультации при подготовке к лабораторной работе, оказывается помощь в освоении специальных программных средств.

71