Лекция 3. Типовые математические модели

На лекции рассматриваются основы теории марковских процессов и типовые аналитические модели, основанные на допущении о марковости протекающих в моделируемых объектах процессов.

Примеры моделей Оптимизационные модели

Математическая оптимизационная модель должна содержать следующие основные компоненты:

1. Переменные – значения, которых необходимо вычислить.

2. Целевая функция – цель, записанная математически в виде функции от переменных. Обязательно указывается, что необходимо сделать с этой функцией для решения проблемы: найти ее максимум или минимум.

3. Ограничения – записанные, математически ограничения, выявленные из анализа предметной ситуации.

Рассмотрим несколько примеров постановки задачи оптимизационных моделей.

Задача распределения ресурсов

На предприятии, выпускающем неоднородную продукцию, руководители хотят определить уровни производства этой продукции на некоторый период времени.

Исходные данные:

- количество материалов (X, Y, Z), требуемых на каждом этапе технологического процесса для выпуска единицы продукции;

‑ объем запасов этих материалов на складе;

- доход, получаемый в результате выпуска единицы продукции.

Цель планирования – увеличение прибыли.

Результаты анализа проблемной ситуации были сведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

		Этапы технологического процесса				В наличии ресурсов
		1	2	3	4
Требуемые ресурсы (кг, бочки, литры, ящики т.п.).	количество материала X	1	1	1,5	2	30
	количество материала Y	2	5	3	7	120
	количество материала Z	3	5	10	15	100
	Доход с единицы продукции	4	5	9	11
	Объем выпуска продукции	x1	x2	x3	x4

Суммарная прибыль составит 4x₁+5x₂+9x₃+11x₄. Это и есть целевая функция, которую необходимо максимизировать.

Ограничения: суммарные затраты на производство продукции из каждого материала не должны превышать имеющегося объема этого материала в наличии.

Таким образом, модель записывается в виде целевой функции (критерия):

4x₁+5x₂+9x₃+11x₄ → max.

и ограничений:

x₁ + x₂ + 1,5x₃ + 2x₄   30,

2x₁ + 5x₂ + 3x₃ + 7x₄  120,

3x₁ + 5x₂ + 10x₃ +15x₄  100,

x₁  0, x₂  0, x₃  0, x₄  0.

Транспортная задача

Требуется составить план перевозок, минимизирующий затраты на перевозки.

Исходные данные:

А₁….., А_n - пункты отправления;

а₁……,а_n - объёмы продукции;

В₁……,В_m - пункты назначения;

b₁……,b_m - потребности в продукции;

l_ij – стоимость перевозки единицы продукции из A_i в B_j;

j = 1,…, m,

i = 1,…, n.

x_ij – объём продукции, перевозимой из A_i в B_j.

Целевая функция (общая стоимость перевозки) имеет следующий вид:

→ min,

ограничения:

Рассмотренные оптимизационные модели являются линейными и решаются методами линейного программирования.

Особенности дескриптивных моделей

Отличительной особенностью дескриптивных (описательных) моделей является отсутствие целевой функции.

Основной задачей подобных моделей является описание процесса с помощью математического аппарата в целях изучения поведения систем и прогнозирования их дальнейшего развития.

К описательным моделям относятся следующие виды моделей:

• Регрессионные модели – описывают функциональные зависимости между зависимыми и независимыми показателями и переменными в понятной человеку форме.

• Модели кластеризации – описывают группы (кластеры), на которые можно разделить объекты, данные о которых подвергаются анализу. Группируются объекты (наблюдения, события) на основе данных (свойств), описывающих сущность объектов. Объекты внутри кластера должны быть "похожими" друг на друга и отличаться от объектов, вошедших в другие кластеры. Чем больше похожи объекты внутри кластера и чем больше отличий между кластерами, тем точнее кластеризация.

• Модели ассоциации – выявление закономерностей между связанными событиями. Примером такой закономерности служит правило, указывающее, что из события X следует событие Y. Такие правила называются ассоциативными.

Описательные модели находят свое применение во многих областях, например:

• в практике маркетинговых исследований

например, "модель потребления", характеризующая бюджет потребителя и др.; моделирование движения объектов производится с целью предсказания траектории полета. В этом случае цели моделирования носят описательный характер, поскольку нет никаких возможностей повлиять на суть происходящих процессов.

• интеллектуальный анализ данных

при этом описательные модели нацелены на анализ структуры данных, определение правил, шаблонов и ассоциаций внутри данных. К таким моделям относятся, например, кластеризация, классификация, таблицы взвешенных оценок, анализ ассоциаций.

• описательные модели отражают содержание и основные свойства экономических объектов как таковых

С их помощью вычисляются числовые значения экономических факторов и показателей. К таким моделям можно отнести экономико-статистические или эконометрические модели.

Как правило, эти модели дают общие представления об объекте, процессы в моделируемом объекте отображаются в агрегированном виде, максимально обобщены. Но, несмотря на это, значимость этих моделей велика, так как они позволяют изучать явления целиком, комплексно и позволяют обнаружить фундаментальные свойства объектов и процессов. Методами исследования и построения этих моделей являются методы и критерии математической статистики (корреляционный, регрессионный анализ и пр.). Информационной базой, как правило, являются статистические выборки и временные ряды.

Область применения этих моделей: достаточно широка: модели экономики страны, модели расширенного воспроизводства, модели спроса и предложения, производственные функции.