Матричное задание автомата

Граф переходов, как и любой граф, может быть представлен матрицей переходов – квадратной матрицей, размерность которой совпадает с числом состояний, а элементами являются дуги, соединяющие состояния.

Запишем автомат в виде матрицы:

Если множество путей, ведущих от одного состояний к другому записывать как сумму, а путь, включающий дуги как произведение дуг, то возведение матрицы в степень дает все пути определенной длины, совпадающей с показателем степени между состояниями (возведем в квадрат, получим пути между состояниями длины 2, если в куб - длины 3).

Если хотят определить количество путей определённой длины, то составляют так называемые скелеты матриц и возводят их в степень. Они отличаются от матрицы «А» тем, что в ней вместо управлений записывается их количество.

Транспортная сеть, рассмотренная ранее в примере минимизации, расстояния также подходит под модель конечного автомата.

Путем возведения матрицы переходов в степень можно получить пути определенной длины, ведущие от i-^го состояния к j‑^му для всех i и j.

Обозначим множество дуг, ведущих из i-^го состояния в j-^ое в графе переходов, через π_ij (получится одна объединенная дуга).

Путь – это последовательность дуг. Будем считать его произведением дуг.

Путь между состояниями может быть не один. Если множество путей записывать как сумму, то возведение матрицы переходов в квадрат дает все пути длины 2 между всеми состояниями. Справедливость этого подтверждается правилом перемножения матриц.

Элемент, стоящий на пересечении i-^ой строки и j-^го столбца произведения матриц равен произведению i-^ой строки и j-^ый столбец матриц-сомножителей. При возведении в квадрат это есть произведение следующих строки и столбца

То есть _ij = _i1_1j + _i2_2j + …+ _is_sj .

Это есть все пути длины 2, ведущие из i-го состояния в j-^е.

Аналогично элемент (i,j) матрицы ||A||^k является множеством всех путей длины k, ведущих из i-^го состояния в j-^е состояние автомата A.

Матрица ||A||^k называется матрицей переходов k-го порядка.

Если необходимо определить пути, ведущие из одного состояния, например i-^го, то нужно на матрицу ||A|| умножить не матрицу, а ее i-^ю строку. После каждого умножения получается строка. В результате будет строка, содержащая пути определенной длины из i-^го состояния.

Таким образом, понятие автомата в дискретно-детерменированном подходе к исследованию на моделях свойств объектов является математической абстракцией, удобной и эффективной для описания широкого класса процессов функционирования реальных объектов в автоматизированных системах (элементы ЭВМ, устройства контроля, регулирования и управления, системы коммутации). Для подобных систем характерно наличие дискретных состояний и дискретный характер работы во времени. Но широта их применения не означает универсальности этих математических схем. Например, данный подход непригоден для описания процессов принятия решений, процессов в динамических системах с наличием переходных процессов и стохастических элементов.