Степени свободы механизмов

Все кинематические пары могут быть разделены на классы по числу связей, определяющих степень их подвижности.

Как известно, свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы. Звенья, входящие в кинематические пары, не являются свободными телами, поэтому каж­дое звено не может иметь шесть независимых движений относи­тельно другого. По характеру соединения, звенья могут иметь от одного до пяти движений из шести; соответственно пять, четыре, три, два или одно движение из шести возможных будут исключены. По числу наложенных связей кинема­тические пары делятся на пять классов.

Класс пары, численно равный числу накладываемых связей, определяется по формуле:

где  – число степеней свободы.

Шарнир, относится к парам III класса, поскольку имеет три степени свободы (независимые повороты вокруг трех осей). Плоское шарнирное соединение (Рис.I-3 и Рис.I-1б) и соеди­нение для возвратно-поступательного движения (Рис.I-1в) относятся к парам V класса, так как имеют по одной степени сво­боды (вращательной и поступательной соответственно). Несмотря на то, что элементы винтовой пары (см. Рис.I-1г) имеют возможность для относительного вращения и поступательного перемещения, эту пару относят к парам V класса, так как поступательное х и враща­тельное  движения не являются независимыми: .

Кинематические пары в зубчатом и кулачковом механизмах относятся к парам IV класса, так как имеют по две степени свободы и четыре условия связи.

Система звеньев, соединенных кинематическими парами, на­зывается кинематической цепью. Различают плоские и пространствен­ные кинематические цепи. Плоскими называются цепи, все точки которых движутся в параллельных плоскостях. Плоские кинемати­ческие цепи могут состоять только из пар IV и V классов.

В простран­ственных кинематических цепях траектории движения точек звеньев находятся в непараллельных плоскостях, в этих цепях могут быть использованы пары любого класса.

Механизмом является не всякая кинематическая цепь, а только такая, в которой при заданном движении одного или нескольких ведущих звеньев относительно звеньев, принятых за неподвижные, все остальные (ведомые) звенья совершают определенные движения.

Ведущим называется звено, к которому приложены движущая сила или момент силы и закон движения которого считается из­вестным.

Ведомое звено совершает требуемое движение, для осуще­ствления которого и предназначен передаточный механизм.

Кинематическая цепь характеризуется числом степеней сво­боды, т. е. числом независимых движений, которые можно сообщить ее звеньям. Число степеней свободы кинематической цепи опреде­ляется числом звеньев, а также числом и классом кинематических пар, составляющих эту цепь. Другими словами, число степеней свободы кинематической цепи определяется ее структурой.

Рассмотрим плоскую кинематическую цепь, состоящую из п звеньев. До соединения в кинематическую цепь все звенья имели 3∙n степеней свободы; после соединения число степеней свободы уменьшается. При этом каждая пара IV класса уменьшает число степеней свободы на единицу, а все вместе — на P (P_IV — число пар IV класса). Аналогично, кинематические пары V класса умень­шают число степеней свободы на 2∙P_V (Р_V — число пар V класса). В результате плоская кинематическая цепь имеет следующее число степеней свободы:

Уравнение, приведенное выше, называется структурной формулой механизма. Если одно из звеньев плоской цепи неподвижно, как это имеет место в ре­альных механизмах, то число ее степеней свободы уменьшается на три (одно звено жестко закрепляется) и структурная формула при­нимает вид:

Полученная зависимость называется формулой П.Л. Чебышева. Используя ее, определим число степеней свободы механизма, пока­занного на Рис.I-6.

Рис.I-6 – кинематическая схема исследуемого механизма

Общее число звеньев механизма п – 6, число пар V класса P_V = 6, число пар IV класса P_IV = 2 (пары // и ///).

Следовательно,

т. е. механизм имеет одну степень свободы.

При проектировании механизмов надо иметь в виду, что всегда  > 0 и число степеней свободы должно быть равно числу ведущих звеньев. На практике преимущественное распространение получили плоские механизмы с одной степенью свободы и, следовательно, с одним ведущим звеном.