Контрольная работа № 5. Задачи на арифметический цикл.

1. Разработать программу, которая по данному натуральному числу N вычисляет N! (0!=1, 1! = 1, при N > 1 N! = 1*2*...*N). Ваша программа должна контролироватть диапазон целых чисел, для которого она работает правильно.

2. Последовательность Фибоначчи определяется так: f(0)= 0, f(1) = 1, f(k) = f(k-1) + f(k-2) при k >=2. Разработать программу, которая по данному натуральному числу N вычисляет f(N). Ваша программа должна контролироватть диапазон целых чисел, для которого она работает правильно.

3. Разработать программу, которая по данному натуральному числу N и вещественному числу x вычисляет сумму S(N, x) = 1/0! + x/1! + ... + x^N/N!. Требуется, чтобы количество операций (выполненных команд присваивания) было бы не более C*n для некоторой константы С.

4. Разработать программу, которая по данному натуральному числу N и вещественному числу x в одном арифметическом цикле вычисляет суммы

C(N, x) = 1/0! - x²/2! + x⁴ /4! ... + (-1)^N* x ^2N/(2N)!.

S(N, x) = x/1! - x³/3! + x⁵ /5! ... + (-1)^N* x ^2N+1/(2N+1)!.

Требуется, чтобы количество операций (выполненных команд присваивания) было бы не более C*n для некоторой константы С.

5. Разработать программу табулирования функции y = (1/Pi)*Sin(x²/Pi) на интервале [a, b] с шагом h изменения переменной x.

6. Разработать программу поиска наибольшего и наименьшего значения функции y = (1/Pi)*Sin(x²/Pi) на интервале [a, b] методом последовательного вычисления значений этой функции на заданном интервале с шагом h изменения переменной x.

7. Разработать программу табулирования функции двух переменных z = (1/Pi)*Sin((x²+y²)/Pi) на прямоугольнике [a, b] * [c, d] с шагом h изменения переменных x и y.

8. Разработать программу приближенного вычисления интеграла ò f(x)dx на отрезке [a, b] по формуле средних прямоугольников при фиксированном числе N разбиения отрезка интегрирования [a, b] на N равных частей.

9. Разработать программу, которая по данному положительному вещественному числу R, данному положительному натуральному числу p < 10, данному положительному натуральному числу N вычисляет запись R в p-ичной системе счисления с точностью 1/p^N . Результат следует вывести на экран в виде R = a₁ a₂ ... a_k , b₁ b₂ ... b_N (p), где a₁ a₂ ... a_k - целая часть, b₁ b₂ ... b_N - дробная часть записи R в p-ичной системе счисления с требуемой точностью.

10. Разработайте программу, которая по данному натуральному числу N = a₁ a₂ ... a_k формирует число M = a_k a_k-1 ... a₁ (число M состоит цифр числа N, расположенных в обратном порядке). Числа N и M представьте в программе как данные типа LongInt.

Контрольная работа № 6. Задачи на итерационные циклы.

1. Натуральное число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих собственных делителей. Разработать программу поиска всех совершенных чисел в данном интервале. [k, l].

2. Даны натуральные числа а, b. Вычислить произведение а*b, используя в программе лишь операции +, -, =, >.

3. Составить программу, печатающую разложение на простые множители заданного натурального числа N > 1 (другими словами, требуется печатать только простые числа и произведение напечатанных чисел должно быть равно N).

4. Реализовать алгоритм приближенного решения уравнения f(x) = 0 на отрезке [a, b] методом хорд. Вычисление значения функции f в точке x реализовать в виде функции.

5. Реализовать алгоритм приближенного решения уравнения f(x) = 0 на отрезке [a, b] методом деления отрезка пополам. Вычисление значения функции f в точке x реализовать в виде функции.

6. Функция f с натуральными аргументами и значениями определена так:

f(0) = 0, f(1) = 1, f (2n) = f(n), f (2n+1) = f (n) + f (n+1).

Составить программу вычисления f(n) по заданному n, которая требуюет порядка log₂n арифметических операций.

7. Разработать программу, которая для данного натурального числа N ищет представление этого числа в виде суммы двух квадратов натуральных чисел: N = x² + y² .

4. Разработать программу, которая вычисляет представление данного рационального числа R = P/Q в виде десятичной периодической дроби R = A.B(C), где А - целая часть числа R, B - предпериод числа R, а С - период этого чмсла. (Например, для R = 32/15 A = 2, B = 1, C = 3.)

5. Через GCD(A, B) обозначим наибольший общий делитель натуральных чисел A и B. Известно, что если D = GCD(A, B), то существуют такие целые числа X и Y, что

D = X*A + Y*B.

Разработать программу, которая по числам A и B вычисляет X и Y.

10. Известно, что пересечение двух числовых множеств, каждое из которых образует арифметическую прогрессию, либо пусто, либо также является арифметической прогрессией. Пусть две арифметических прогрессии заданы соответственно своими первыми членами A и B и разностями K и L. (A_i = A + (i-1)*K, B_j= B + (j-1)*L.). Разработать программу, которая вычисляет первый член С и разность М пересечения последовательностей {A_i} и {B_j}, если оно не пусто.