2.2Точечные оценки параметров распределения

По имеющейся выборке можно дать оценку математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности. Оценкой математического ожидания служит выборочное среднее

(2)

то есть среднее арифметическое всех элементов выборки, а оценкой дисперсии – выборочная дисперсия

(3)

Заданная таким образом оценка математического ожидания является несмещенной, то есть математическое ожидание выборочного среднего равно оцениваемому параметру (математическому ожиданию исследуемой случай-ной величины). Выборочная дисперсия, напротив, смещенная оценка генеральной дисперсии, и Поэтому вводится несмещен-ная оценка генеральной дисперсии – исправленная выборочная дисперсия

(4)

Соответственно число является несмещенной точечной оценкой среднего квадратического отклонения.

2.3Интервальные оценки параметров распределения

Точечная оценка при малом объеме выборки может существенно отличать-ся от оцениваемого параметра, поэтому важно знать, насколько истинное значение параметра может отклоняться от найденной точечной оценки. Интервал вида где Ө - истинное значение оцениваемого параметра, а Ө^* - его точечная оценка, называется доверительным интерва-лом, а вероятность доверительной вероятностью или надежностью. Для построения доверительного интервала требуется знать закон распределения исследуемой случайной величины. Пусть эта величина распределена по нормальному закону. Если при этом известно ее среднее квадратическое отклонение σ, то доверительный интервал для математичес-кого ожидания имеет вид:

(6)

где а – оцениваемое математическое ожидание, х_В – выборочное среднее, п – объем выборки, t – такое значение аргумента функции Лапласа Ф (t), при котором

При неизвестном среднем квадратическом отклонении доверительный интервал для математического ожидания при заданной надежности γ задается так:

(7)

Здесь s – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, а критическая точка распределения Стьюдента, значение которой можно найти из таблиц по известным п и γ.

Для оценки генерального среднего квадратического отклонения σ при заданной надежности γ можно построить доверительный интервал вида

(7)

где s – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, а q = q (n, γ) – значение, определяемое из таблиц.

2.4Определение параметров функциональной зависимости методом наименьших квадратов

При совместном исследовании двух случайных величин по имеющейся выборке (х₁, у₂), (х₂, у₂),…,(x_k, y_k) возникает задача определения зависимости между ними. Если вид функции y = f (x, a, b,...) задан, то требуется найти значения коэффициентов a, b,..., при которых y_i наименее отличаются от f (x_i). В методе наименьших квадратов коэффициенты должны быть такими, что принимает минимальное значение.

а) Линейная зависимость y = ax + b. Если , то из условия получаем:

(8)

б) Квадратичная зависимость y = (ax + b)². Отсюда и система для определения a, b может быть получена по аналогии с предыдущим случаем с помощью замены y_i на :