- •Де 1. Основы метрологии, стандартизации, сертификации
- •Метрология. Основные понятия. (гост 16263-70)
- •Международная система единиц физических величин
- •Кратные и дольные единицы
- •Классификация видов и методов измерений
- •Методы измерений
- •Средства измерений
- •Метрологические характеристики средств измерений
- •1.2. Погрешности измерений. Классы точности измерений
- •Классификация погрешностей
- •Классы точности средств измерения
- •Нормальный закон распределения погрешностей
- •Порядок обработки результатов прямых многократных измерений
Классы точности средств измерения
Класс точности – есть обобщенная метрологическая характеристика средств измерения, определяемая предельными значениями допустимой погрешности. Пределы допустимых погрешностей средств измерений выражаются в форме абсолютной, относительной и приведенной погрешностей [10].
Если погрешность средств измерений носит чисто аддитивный характер, то класс точности задается предельным значением приведенной погрешности γпр.:
.
Если погрешность средств измерений носит чисто мультипликативный характер, то класс точности задается предельным значением относительной погрешности δпр.:
.
Как правило, таким образом, нормируют средства измерения высокой точности (цифровые мосты, компенсаторы для измерения ЭДС термопары) и класс точности обозначают отношением .
Постоянные коэффициенты c, d, p, q есть отвлеченные положительные числа, выбираемые из ряда m 10n , где m = 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5, 6; n = 1, 0, –1, –2, –3, …
Случайные погрешности проявляются при многократных и равноточных измерениях, т.е. при измерениях, выполненных по одной и той же методике, средствами одинаковой точности и при переменных внешних условиях.
Примеры случайной погрешности (трение в опорах рамки измерительных приборов, тепловое воздействие на рамку, изменение сопротивлений соединительных проводов, плохой контакт, влияние магнитных полей, влияние петли гистерезиса и т.д.).
Задача оценки случайной погрешности – указать границы изменения погрешности результата измерений при повторных измерениях (доверительный интервал).
Аналитически случайная погрешность измерений описывается и оценивается с помощью аппарата теории вероятностей и математической статистики. При такой оценке обычно интересуются вероятностью (R) того, что погрешность результата измерений (D) находится в некотором заданном доверительном интервале распределения погрешностей (–DГ1, DГ1), где –DГ1 и DГ1 соответственно нижняя и верхняя границы интервала. Записывается данная вероятность как R(–DГ1 £ D £ DГ1) и из математики известно, что в общем случае 0 £ R £ 1.
Для определения значения вероятности R(–DГ1 £ D £ DГ1) необходимо знать закон r(D) распределения случайной погрешности D, называемый плотностью распределения вероятностей (плотностью вероятностей) случайной погрешности D. При известном законе распределения r(D) искомая вероятность определяется по формуле
.
Из физических представлений следует, что вероятность нахождения погрешности D на интервале всех возможных погрешностей измерений, т.е. в общем случае на интервале (–¥, +¥) равна .
Данное выражение называется условием нормирования плотности распределения вероятностей r(D), которое означает, что площадь под графиком любой функции r(D) на интервале всех ее значений должна быть равна единице.
В практике измерений наиболее часто используются нормальный (Гаусса) законы распределения погрешностей.
Нормальный закон распределения погрешностей
Для характеристики свойств случайной величины в теории вероятности используется понятие закона распределения вероятностей случайной величины. Различают две формы описания закона распределения: интегральную и дифференциальную. В метрологии используют преим. Дифференциальную – закон распределения плотности вероятностей случайной величины.
Пусть произведено n=50 наблюдений величины xi : x1, x2 x3,….xn,
Номер интервала |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
nk |
5 |
10 |
18 |
11 |
6 |
nk/n |
0,1 |
0,2 |
0,36 |
0,22 |
0,12 |
n |
xi |
1 |
20 |
2 |
21 |
3 |
25 |
4 |
22 |
5 |
29 |
6 |
28 |
7 |
20 |
… |
… |
50 |
27 |
айдем размах ряда L = xmax, - xmin = 29-19=10 Разделив размах ряда на k=5 равных интервалов l = L/k = 10/5=2, подсчитаем количество наблюдений nk , попадающих в каждый интервал.
При бесконечном повторении и увеличении n ступенчатая кривая перейдет в плавную кривую f(x) – кривая плотности распределения вероятности случайной величины.(Или )
Числовые характеристики распределений:
1. Математическое ожидание (среднее арифметическое):
= 25
2. Среднее квадратичное отклонение (СКО) или рассеивание единичных результатов и дисперсияч:
D = s2,
где D – дисперсия.
Качество и точность измерений тем выше, чем меньше СКО, тем меньше вероятность рассеивания результатов наблюдений D.
Рис 1.12. Графики
нормального закона распределения
плотности вероятности случайных
погрешностей
Чаще начало координат совмещают с центром распрелделения.
В аналитической форме закон нормального закона распределения записывают:
f(x)= .
где s – среднеквадратическое отклонение (СКО), характеризующее точность выполненных измерений (чем меньше s, тем выше точность). По мере уменьшения s рассеяние случайных погрешностей D относительно центра их распределения, (в данном случае относительно значения D = 0) уменьшается. На рис. 1.12 изображены кривые нормального распределения случайных погрешностей для различных значений среднеквадратичного отклонения. Из рисунка видно, что по мере увеличения среднеквадратического отклонения распределение все более и более расплывается, вероятность появления больших значений погрешностей возрастает, а вероятность меньших погрешностей сокращается, т.е. увеличивается рассеивание результатов наблюдений.
На графике плотности вероятности для конкретного СКО (см. рис. 1.12) вероятность численно равна площади S заштрихованной фигуры, ограниченной функцией r(D), отрезком оси D от –DГ1 до DГ1 и ординатами r(–DГ1), r(DГ1). Чем шире заданный интервал погрешностей, тем больше площадь S, т.е. больше вероятность попадания случайных погрешностей измерений D в этот интервал. Для интервала (–¥,+¥) вероятность R(–¥ £ D £ +¥) =1.
Более универсальным методом является оценки погрешности с использованием доверительных интервалов: На графике норм. распределения отложены интервалы с границами ± ±2 и т.д.
Доверительные вероятности для этих интервалов в таб. В технике принят 99% уровень надежности, т.е. границы ±3.
t
P
±1
0,68
±2
0,95
±3
0,997
±4
0,999