5.1.5. Diff - Розрахунок кінцевих різниць та наближене диференціювання

Синтаксис:

           y = diff(x)            y = diff(x, n)

Опис:

Функція y = diff(x) розраховує кінцеві різниці. Якщо x - одномірний масив виду x = [x(1) x(2) ... x(n)], то diff(x) - це вектор різниць сусідніх елементів diff(x) = [x(2) - x(1) x(3) - x(2) ... x(n) - x(n-1)]. Кількість елементів вектора x на одиницю менше кількості елементів вектора diff(x). Якщо X - двумірний масив, то беруться різниці стовпців diff(X) = X(2:m, :) - X(1:m-1, :).

Функція y = diff(x, n) розраховує кінцеві різниці порядку n, що задовольняють рекурентному співвідношенню diff(x, n) = diff(x, n-1).

Апроксимацією похідної n порядку є відношення diff(y, n)./diff(x, n).

За наявністю спеціального пакету Symbolic Math Toolbox [1] можна реалізувати точне диференціювання у символьному вигляді, використовуючи наступні функції пакету:

• diff(S) диференцює символьний выраз S за вільними змінними;

• diff(S, ‘v’) диференцює символьний выраз S по v;

• diff(S, n) и diff(S, ‘v’, n) диференцює n раз символьний выраз S;

• diff без аргументів диференцює попередній вираз.

5.2 Короткі теоритичні відомості

5.2.1. Інтерполяційний многочлен Лагранжа

Побудавати інтерполяційний многочлен Лагранжа для функції f(x)= з вузлами інтерполяції х₀=1, х₁=2, х₂=3. Оцінити похибку методу інтерполяційного многочлена при х=2,5.

Розв’язок: Початкові дані подамо у вигляді таб. 5.1.:

Таблиця 5.1. – Початкові дані

xi	1	2	3
yi=	1	1,280	1,4442

Тут n=2, коли інтерполяційний многочлен розраховуватиметься за формулою

P₂(x)=L₂(x, x₀)y₀+L₂(x, x₁)y₁+L₂(x,x₂)y₂

у наступному вигляді:

= -0,039х² + 0,377х +0,662.

Для оцінки похибки скористаємось формулою: , де M_n+1= |f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|,

Яка у такому випадку матиме вигляд , де M₃= |f (x)|. За умовою f(x)= , тоді

. На відрізку [1;3] функція f^///(x) додатня та убуває. Отже,

та

, |R₂(2,5)| 0,023

5.2.2. Таблиця різниць

Скласти таблицю різниць до третього порядку включно для функції y=e^x на інтервалі [1;2] з кроком h=0,2.

Розв’язок: відповідні розрахунки подані у таб. 5.2.:

Таблиця 5.2. – результати розрахунків

xi	yi	yi	2yi	3yi
1	2,718	602	133	30
1,2	3,320	735	163	36
1,4	4,055	898	199	43
1,6	4,953	1097	242
1,8	6,050	1339
2,0	7,389

Значення функцій обрані з трьома вірними десятковими знаками. Різниці записані цілими числами. Тому кінцеві різниці, що приведені у таблиці, потрібно помножувати на 10^-3.