Обычная форма записи сравнительных результатов

а\к	к1	к2	к3	к4	Ср. выигрыш	Лапласа	Вальда	Гурвица	Севиджа
а1	0,1	0,5	0,1	0,2	0,21	0,225	0,1	0,34	0,3
а2	0,2	0,3	0,2	0,4	0,28	0,275	0,2	0,32	0,2
а3	0,1	0,4	0,4	0,3	0,25	0,300	0,1	0,28	0,1

Тип критерия для выбора рационального варианта выбирается на аналитической стадии рассмотрения сложных систем.

Вопросы по теме 5:

1. Критерий Севиджа

2. Критерий Гурвица

3. Критерий среднего выигрыша

4. Критерий Лапласа

5. Критерий Вальда

ТЕМА 6

ПРОЦЕДУРА ВЫБОРА ОБЪЕКТОВ ПО МНОГОМЕРНЫМ КРИТЕРИЯ

или метод попарного сравнения альтернатив

Часто встречается задача, когда необходимо выбрать лучший объект из нескольких, при условии, что существует набор критериев, их оценки или объекта оцениваются несколькими экспертами.

Рассмотрим:

Е=е_i, i=1,n – множество элементов

К=k_j, j=1,n – множество критериев

α_i^k – оценка, составленная е_i по К

Рк – множество состояний объектов, который допускает критерий k_{j ,} имеет структуру шкалы.

По этим условиям можно сравнить объекты относительно одного критерия на основании сравнения их состояния, т.е. оценок, соответствующих этому критерию.

α_i^k > α_j^k - ,будет означать, что по критерию К объект е_i предпочтительней, чем е_j

е_i >е_j

Если оценки объектов по разным критериям противоречивы, то для сравнения таких объектов можно предложить процедуру, которая базируется на особых принципах. Согласно этой процедуре всё множество критериев К можно разделить на два подмножества.

С_ij – множество критериев, согласно которым е_i по крайней мере, не хуже чем е_j

D_ij – множество критериев, для которых это условие не выполняется.

• Для начала процедуры сравнения объектов рассматривается гипотеза, что

е_i >е_j. Для оценки соответствия различных критериев данной гипотезе вводится показатель соответствия с_ij

• Он рассчитывается по формуле:

(соотв.)

с_ij=

(всех)

Сумма подтверждений этой гипотезы соответствия к сумме экспертов.

Показатель соотв. рассчитывают для каждой пары объектов е_i е_j

Для осуществления процедуры сравнения необходимо учесть и критерии, противоречащие введённому предположению, что объект е_i по крайней мере не хуже е_j . С этой целью рассчитывается показатель не соотв. с_ij (s)

• Для его получения необходимо:

1. Вычислить разности между оценками объектов α_i^k и α_j^k для всех КD_ij и упорядочить полученные отклонения (разности) в невозрастающую последовательность.

2. Определить показатель несоотв. как S-ый элемент построенной последовательности.

Пр.: на предприятии проводится отбор платьев для массового пошива, при этом каждое платье оценивают по 6 показателям.

е₁ трудоёмкость прцесса

е₂ удельная прибыль

е₃ инвариантность тела ткани

е₄ инвариантность фурнитуры

е₅ величина охвата рынка

е₆ соотв. модной тенденции

Эти показатели получили оценки 10-ти специалистов по 10-ти бальной шкале. Экспертн. Оценки представлены в таблице:

Таблица «оценки показателей экспертами»

показатели	эксперты
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
е1	1	9	5	10	7	10	5	5	10	3
е2	3	4	5	8	5	3	8	8	5	7
е3	8	3	2	5	5	5	8	4	5	2
е4	2	6	2	5	10	5	10	9	10	6
е5	10	10	4	8	8	10	10	4	10	5
е6	9	8	3	7	5	4	10	6	8	7

Задача состоит в выборе наиболее значимого элемента е_i или группы этих элементов при разных предположениях относительно к требованиям к точности совпадения мнений этих экспертов. Посмотрим матрицу соответствия С_{ij =}

	е1	е2	е3	е4	е5	е6
е1	х	0,6	0,8	0,5	0,5	0,6
е2	0,5	х	0,8	0,3	0,4	0,5
е3	0,2	0,5	х	0,4	0,1	0,2
е4	0,5	0,4	0,3	х	0,7	0,6
е5	0,5	0,5	0,1	0,5	х	0,8
е6	0,6	0,5	0,9	0,5	0,2	х

Гипотеза: е_i >е_j

е1> е2 e1> е3

e2 >е1 e2 >е3 e2 >е4 e2 >е5 e2 >е6 e2 >е

• Строим матрицу несоотв.:

D_{ij =}

	е1	е2	е3	е4	е5	е6
е1	х	0.4	0.7	0.5	0.9	0.8
е2	0.7	х	0.5	0.5	0.7	0.6
е3	0.6	0.5	х	0.5	0.7	0.5
е4	0.5	0.5	0.5	х	0.5	0.7
е5	0.7	0.7	1	0.7	х	0.8
е6	0.6	0.2	0.1	0.5	0.6	х

е₁ > е₂

[2,3,3,4] = [4.3.3.2]

d₁₂(1) = 0.4

зафиксируем значение параметра S и зададим два числа:

c – пара соответствия

d – пара несоответствия

Будем считать, что согласно введенным критериям и парам c и d, если и только если пара (е₁ , е₂) приводит к показателю соответствия

с_ij≥с и d_ij(s)≤d – показатель несоответствия.

Предпочтения опр. т. обр. удобно представлять в виде графа, вершинами которого являются элементы Е= {е_i} множества Е, а дуги выражают отношение предпочтения своим направлением от е_i к е_j , если е_i > е_j. Т.е. граф G(c,d,s)=[E,U(c,d,s)] множество Е, которое объединяет дуга. Очевидно, чем меньше требования к значениям c и d, тем богаче дугами соответствующий граф. Однако сравнение и выбор проводимые на основе очень малых требований могут не отразить реальную ситуацию выбора.

Поэтому необходимо последовательно и постепенно ослаблять требования к параметрам c,d,s и проанализировать возникающие связи.

Таким образом для каждой тройки c,d,s построенной граф, можно разделить на два непересекающихся подмножества.

Пусть 1-ое подмножество таково, что всякий элемент не включенный в него будет превзойден по крайней мере одним элементом ему принадлежащим.

Это свойство называется свойством внешней устойчивости.

Другое свойство данного подмножества в том, что никакой его элемент не превосходит другого элемента, т.е. они не сравнимы между собой при заданных параметрах c,d,s .

Подмножество вершин графа обладает этими 2-мя свойствами называется ядром.

Оно определяет набор лучших элементов или параметров.

c = 0,7

d = 0,4

e₁, e₂, e₃, e₄ – ядро

e₂

e₁ e₃

e₆ e₄

e₅

c = 0,6 d = 0,4 Ядро: e₁, e₃, e₄

e₂

e₁ e₃

e₆ e₄

e₅

По условию задачи ядро графа с параметрами 0,6 ; 0,4 ; 1 содержит вершины e₁, e₃, e_4.

Можно проследить такую цепочку e₃ > e₆ > e_5.

Если требуется обогатить граф дугами, то из-за невозможности ослабить требования к порогам соответствия и несоответствия необходимо обратиться к измерению параметра S и рассчитать матрицу несоответствия С_ij(2)

• Ядро графа может иметь различное число элементов. Если в ядре очень много элементов, это означает, что онтогонизм критериев таков, что не позволяет сравнивать объект при этих параметрах. Усиление требовательности к порогам c и d сократит число элементов в ядре. В результате анализа поведения графов и их ядер можно выбрать небольшое число объектов, среди кот. находится и самый лучший. Иногда можно упорядочить объекты в некоторую последовательность благодаря кот. каждый объект сравнивается с другими и из них можно выбрать близкие или эквивалентные (циклически замкнутые) и прочие

Вопросы по теме 6

1. Сущность метода попарного сравнения альтернатив или метода многомерного выбора.

2. Что такое коэффициент согласия и как он определяется

3. Коэффициент несогласия и схема построения матрицы несогласия

4. Логика построения ядра с целью определения оптимальной альтернативы.