Многомерный винеровский процесс

Многомерный (n-мерный) винеровский процесс — это Rⁿ-значный случайный процесс, составленный из n независимых одномерных винеровских процессов, то есть

,

где процессы совместно независимы.

Пуассо́на пото́к (проце́сс), (устар. Пуассоновский процесс^[1]) — поток однородных событий, для которого число событий в интервале А не зависит от чисел событий в любых интервалах, не пересекающихся с А, и имеет Пуассона распределение с параметром Λ(А). В теории случайных процессов описывает количество наступивших случайных событий, происходящих с постоянной интенсивностью.

Вероятностные свойства потока Пуассона полностью характеризуются функцией Λ(А), равной приращению в интервале А некоторой убывающей функции. Чаще всего поток Пуассона имеет мгновенное значение параметра λ(t) — функцию, в точках непрерывности которой вероятность события потока в интервале [t,t+dt] равна λ(t)dt. Если А — отрезок [a,b], то

Поток Пуассона, для которого λ(t) равна постоянной λ, называется простейшим потоком с параметром λ.^[2]

Потоки Пуассона определяются для многомерного и вообще любого абстрактного пространства, в котором можно ввести меру Λ(А). Стационарный поток Пуассона в многомерном пространстве характеризуется пространственной плотностью λ. При этом Λ(А) равна объему области А, умноженному на λ.

Классификация

Различают два вида процессов Пуассона: простой (или просто: процесс Пуассона) и сложный (обобщённый).

Простой процесс Пуассона

Пусть λ > 0. Случайный процесс называется однородным Пуассоновским процессом с интенсивностью λ, если

1. X₀ = 0 почти наверное.

2. {X_t} — процесс с независимыми приращениями.

3. для любых , где P(λ(t − s)) обозначает распределение Пуассона с параметром λ(t − s).

Сложный (обобщённый) Пуассоновский процесс

• Пусть ξ₁,...,ξ_n последовательность взаимно независимых одинаково распределённых случайных величин.

• Пусть N(t) - простой пуассоновский процесс с интенсивностью λ, не зависящий от последовательности ξ₁,...,ξ_n.

Обозначим через S_k cумму первых k элементов введённой последовательности.

Тогда определим сложный Пуассоновский процесс {Y_t} как S_N(t) .

Свойства

• Пуассоновский процесс принимает только неотрицательные целые значения, и более того

.

• Траектории процесса Пуассона — кусочно-постоянные, неубывающие функции со скачками равными единице почти наверное. Более точно

при ,

где o(h) обозначает «о малое».

• Пуассоновский процесс стационарен.

Критерий

Для того чтобы некоторый случайный процесс {X_t} с непрерывным временем был Пуассоновским (простым, однородным) или тождественно нулевым достаточно выполнение следующих условий:

1. X₀ = 0.

2. Процесс имеет независимые приращения.

3. Процесс однородный.

4. Процесс принимает целые неотрицательные значения.

5. при .

Информационные свойства

• Пусть — моменты скачков процесса Пуассона. T = τ_j − τ_{j − 1}.

Зависит ли T от предыдущей части траектории? — ?

Пусть .

. Распределение длин промежутков времени между скачка́ми обладает свойством отсутствия памяти ⇔ оно показательно.

• Рассмотрим отрезок [a,b] на временно́й оси.

X(b) − X(a) = n — число скачков на отрезке [a,b]. Условное распределение моментов скачков совпадает с распределением вариационного ряда, построенного по выборке длины n из R[a,b].

Плотность этого распределения

ЦПТ

• Теорема.

Скорость сходимости: , где C₀ — константа Берри-Эссеена.