Кинематические кривые

Кинематические кривые получаются в результате движения какой-либо точки по определенному закону. Такие кривые можно определить как траекторию точки, связанной неизменно с некоторой подвижной кривой линией (подвижной центроидой), которая катится без скольжения по неподвижной кривой линии (неподвижной центроиде).

Циклоидальными называются кривые линии, построенные при помощи центроид дуг окружностей. К ним относятся циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, эвольвента и др. У циклоиды подвижная центроида – окружность, а неподвижная – прямая линия, которую можно принять за окружность, центр которой несобственная точка.

Обыкновенная циклоида – это плоская кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой линии. Для ее построения от исходного положения точки А на направляющей прямой откладывают отрезок АА₁, равный длине данной окружности 2pR. Окружность и отрезок АА₁ делят на одинаковое число равных частей. Восстанавливая перпендикуляры из точек деления прямой АА₁ до пересечения с прямой, проходящей через центр данной окружности параллельно АА₁, намечают ряд последовательных положений центра перекатываемой окружности О₁, О₂, О₃, …, О₁₂. Описывая из этих центров дуги радиусом R, отмечают точки пересечения с ними прямых, проходящих параллельно АА₁ через точки деления окружности 1, 2, 3, 4 и т.д. На пересечении горизонтальной прямой, проходящей через точку 1, с дугой, описанной из центра О₁, находится одна из точек циклоиды; на пересечении прямой, проходящей через точку 2, с дугой, проведенной из центра О₂, находится другая точка циклоиды и т.д.

Прямая М-7, соединяющая данную точку М с точкой 7 касания перекатываемой окружности с направляющей АА₁, является нормалью циклоиды в данной точке; перпендикуляр к М-7 дает касательную. Длина дуги циклоиды АМА₁=8R; площадь ограниченная циклоидой и прямой АА₁, равняется 3pR².

Эвольвента (развертка) окружности – плоская кривая, которую описывает любая точка прямой линии, катящейся по неподвижной окружности. В этом случае неподвижная центроида – окружность, а подвижная центроида – прямая линия (окружность с центром – несобственной точкой).

Для построения эвольвенты (развертки окружности) - окружность предварительно делят на произвольное число равных частей. В точках деления проводят касательные к окружности, направленные в одну сторону. На касательной, проведенной через последнюю точку деления, откладывают отрезок, равный длине окружности (2pR), и делят

его на то же число равных частей. Откладывая на первой касательной одно деление окружности, на второй – два, на третьей – три и т.д., получают ряд точек 1₁, 2₁, 3₁, 4₁ и т.д., которые соединяют по лекалу. Это и будет эвольвента.

Касательная к эвольвенте, например в точке 7₁, перпендикулярна к касательной 7-7₁ окружности.

Синусоида – плоская кривая, графически изображающая изменение синуса в зависимости от изменения его аргумента (угла). Для построения синусоиды исходную окружность делят на произвольное число равных частей. На такое же число равных частей делят отрезок прямой, равный длине данной окружности (2pR). Проведя через одноименные (соответствующие) точки деления горизонтальные и вертикальные прямые, находят на их пересечении точки синусоиды.