Лекальные кривые

Лекальные кривые – это не циркульные кривые линии, которые вычерчиваются по точкам с помощью лекал (вручную на бумаге) или построенные по определенному закону на компьютере. Алгебраические кривые линии, имеющие в системе декартовых координат уравнения второй сте­пени, называют кривыми второго порядка. К лекальным кривым второго порядка относятся: эл­липс, парабола, гипербола.

ЭЛЛИПСОМ называется (плоская замкнутая) кривая, состоящая из множества точек, сумма расстояний от каждой точки которой до двух данных точек - фокусов, величина постоянная. Расстояние между фокусами называется фокус­ным. Точка пересечения осей симметрии эллипса называется центром, а точка пересечения осей с эллипсом - его вершинами. Отрезки, которые соединяют противоположные вершины, называют­ся соответственно большой и малой его осями. Чтобы графически определить положение фоку­сов, расположенных на большой оси, из вершины малой оси осуществляют засечки радиусом, равным величине половины большой оси. Отрезки, которые соединяют фокусы эллипса с точкой кривой, называются радиус-векторами, а угол между радиус-векторами – фокальным углом. Чтобы определить направление касательной в произвольной точке эллипса, строят радиус-векторы, затем проводят биссектрису фокального угла, перпендикуляр к которой является каса­тельной к образующей эллипса в точке К.

Существует множество способов построения эллипса. Рядом на рисунке приведен один из них наиболее часто применяемый на практике.

ПАРАБОЛОЙ - называется плоская кривая, все точки которой равно отстоят от данной точки (фокуса F) и от данной прямой (директрисы), лежащих в одной плоскости. Концы параболы удаляются в бесконечность. Вершина параболы равноудалена от фокуса и директрисы.

Способ построения параболы выбирают в зависимости от задающих элементов.

Построение параболы по заданной вершине (А), оси и точки (5) параболы. Из точек А и (5) проводят взаимно перпендикулярные прямые до пересечения их в точке D. Отрезки АD и D5 делят на одинаковое количество равных частей (в данном случае на 5 частей). Через точки деления на AD проводят горизонтальные прямые (параллельные оси АВ), а точки на D5, соединяют с вершиной А. Точки пересечения одноименных вспомогательных прямых будут принадлежать очерку параболы. Полученные точки соединяют плавной кривой, а затем строят симмет­рично вторую половину параболы.

Чтобы определить на заданной параболе графическим способом расположение ее фокуса и директрисы KN, поступают так:

1. Выбирают на параболе произвольную точку М, затем откладывают от вершины О параболы по оси влево расстояние а и проводят прямую LM, которая является касательной к параболе в точке М.

2. из точки А, в которой проведенная касательная LM пересекает вертикальную линию, проводят пер­пендикуляр NA к касательной (нормаль

NAF) и в точке его пересечения с осью получают искомый фокус параболы - точку F. Точка N, принадлежащая директрисе, является точкой пересечения нормали FN с прямой, проведенной через точку М парал­лельно оси. Точка Е, лежащая на вертикальной ли­нии FE, находится от фокуса на расстоянии EF=FK=p, где р - параметр параболы.