Основные понятия и краткие сведения из математической статистики

Испытание (или опыт) - осуществление на практике какого-нибудь комплекса условий.

Реализация случайного события- событие, которое осуществилось в результате проведения опыта.

Реализация случайной величины- которая получена в результате проведения опыта.

Частота (относительная частота) случайного события. Если N раз проведен опыт, в котором возможно появление некоторого события A, и при этом n раз это событие фактически имело место, то частость появления указанного события равна

W . (46)

Вероятность случайного события (статистическое определение).

Можно заметить, что при увеличении числа опытов N значение W (A) начинает все более и более устойчиво приближаться к некоторому числу P(A). Вероятность случайного события может быть определена как предел W (A) при безграничном увеличении числа опытов N:

. (47)

П р и м е ч а н и е. Говорят, что величина W сходится по вероятности к величине Р, если для сколь угодно малого может быть выбрано такое N, что вероятность выполнения неравенства  будет сколь угодно близка к единице.

Вариационный ряд n реализаций случайных величин- совокупность рассматриваемых величин, расположенных в порядке возрастания (не убывания):

x  x  …  x .

Эмпирическая функция распределения (для n реализаций случайных величин)- функция, определяемая равенствами:

F(x)=

при x  x

при x  x  x (48)

при x  x

Теорема Гливенко. При безграничном увеличении числа опытов максимальное отклонение между эмпирической и теоретической функциями распределения с вероятностью единица сходится к нулю:

. (49)

Теоретическая оценка параметра - оценка , зависящая только от результатов испытаний ( ) и известных величин, но не от известного параметра.

Несмещенная оценка параметра - такая оценка, математическое ожидание которой совпадает с оцениваемым параметром.

Самостоятельной оценка называется в том случае, если при неограниченном увеличении числа опытов она сходится к оцениваемому параметру по вероятности.

Эффективной оценка называется в том случае, если она характеризуется минимальным из всех возможных значением дисперсии оценки относительно параметра .

Достаточная статистика (достаточная оценка)- такая оценка параметра , что условное распределение вектора результатов испытаний ( ) при известном значении не зависит от параметра .

П р и м е ч а н и е. каждая эффективная оценка является одновременно и достаточной.

Доверительный интервал - интервал, накрывающий неизвестное значение оцениваемого параметра с вероятностью не меньше заданной.

Доверительные границы (верхняя и нижняя) - крайние точки доверительного интервала.

Двухсторонним доверительным интервалом для параметра с коэффициентом доверия, не меньшим , называется случайный интервал , концы которого

зависят только от исходов испытаний x и для любого > 0

 .

Верхний и нижний односторонний интервал - случайные интервалы, для которых при любом 0 соответственно

{0<  (x)} .

{ (x)< } .

Доверительный уровень (доверительная вероятность)- вероятность выхода параметра за доверительные границы:

,

где - коэффициент доверия.

Средняя арифметическая реализаций случайной величины- величина, определяемая как

.

Несмещенная оценка дисперсии реализаций случайной величины- величина, которая находится по следующей формуле:

.

Гистограмма- функция, определяемая равенством

.

Здесь – количество реализаций случайной величины, лежащих в интервале ;

…– соответствующим образом выбранные интервалы значений.

Вероятность ошибки первого рода- вероятность отклонить некоторое предположение, когда оно верно.

Вероятность ошибки второго рода- вероятность принять некоторое предположение, когда оно ложно.

Используемые обозначения

W – показатель эффективности профилактических работ;

К_э.пф. – коэффициент эффективности профилактических работ;

_пф – средняя продолжительность профилактических работ;

К_т.н. – коэффициент технического использования;

Т_р – среднее время работы до отказа резервной группы в целом для равно надежных элементов при постоянном включение резерва;

Т – средняя наработка до отказа одного элемента;

Р_р(t) – вероятность безотказной работы резервируемой группы в течение времени t;

Р_Д(t) – вероятность безотказной работы дублированной системы;

М_i – математическое ожидание случайной величины _i;

 – случайное время от включения до отказа группы в целом;

_i – случайный промежуток времени от момента включения до отказа основного элемента или резервного, после отказа основного;

F(x) – функция распределения x;

(t) – условная плотность вероятности отказов устройства в момент времени t, или интенсивность отказа;

(t) – плотность функции распределения F(t) или частота отказов устройства;

_В(t) – плотность функции распределения F_B(t);

F(t) – функция распределения случайной величины ;

F_B(t) – функция распределения случайной величины ;

Н_к – состояние системы, характеризующееся тем, что к её элементов находится в состоянии отказа;

Н_i,j…k – состояние системы, характеризующееся тем, что элементы i,j … k находятся в состоянии отказа;

Н(t) – состояние системы в момент времени t;

К – коэффициент готовности устройства;

К(t) – нестационарный коэффициент готовности устройства;

р_к – стационарная вероятность того, что система находится в состоянии Н_к;

р_к(t) – вероятность того, что момент времени t система находится в состоянии Н_к;

Р(x,x+t_o) – вероятность безотказной работы устройства в интервале времени x,x+t_o;

Р(t_o) – сокращенное обозначение для Р(0,0+t_o);

Т_ср – среднее время безотказной работы;

 – интенсивность отказов;

V_i(a_i) – относительный вес i-го контролируемого параметра;

а_i – значение i-го контролируемого параметра;

а_i – начальное значение i-го контролируемого параметра;

а_iN – номинальное значение i-го контролируемого параметра;

S – состояние объекта диагностирования;

р – вероятность дефекта модуля (канала, тракта, блока);

р^* – комбинированный детерминированно-вероятностный критерий или приведенная вероятность дефекта;

r_i – весовой коэффициент показателя качества;

Q_i^H – нормированное значение показателя качества модуля;

k – число показателей качества модуля;

Т_общ – общее время эксплуатации системы;

Р(t,jT) – вероятность безотказной работы системы из N элементов при t= kT+, в котором учтены все предыдущие k проверок (в общем случае kj);

Р_i(t) – вероятность безотказной работы i-го элемента в течение времени t;

_I(t) – интенсивность отказов i-го элемента;

(x) – плотность распределения;

А – исправное состояние;

В – состояние пассивного отказа группы;

С – состояние активного отказа группы;

P(A) – вероятность пребывания в исправном состоянии А;

Р(В) – вероятность пребывания в состоянии пассивного отказа группы В;

 – суммарная интенсивность отказов;

Р(C) – вероятность пребывания в состоянии активного отказа группы С;

р_а=_а/ – условная вероятность активных отказов устройств;

=1/ – интенсивность восстановления;

 – среднее время восстановления;

РА – вероятность события А;

R(t₀) – коэффициент надежности устройства;

R(x,t₀) – нестационарный коэффициент надежности устройства в интервале времени x,x+t₀;

t₀ – требуемое время безотказной работы;

М_j – интенсивность перехода системы из состояния Н_j в состояние Н_j-1;

(t) – условная плотность вероятности восстановления устройства в момент времени t, или интенсивность восстановления.

 Под благоприятным исходом понимается такой исход испытания, в котором наблюдается событие A.

 Основные функции распределения, используемые в теории надежности, приведены в табл. П. 1. 1. и П. 1. 2.

 Строго говоря, именно (25) является определением плотности распределения