Аксиоматическое определение вероятности

Свойства 1° – 3°, установленные в классическом, геометрическом и статистическом определениях вероятности, в аксиоматическом определении принимаются в качестве системы аксиом (только свойство 3° формулируется в более общем виде).

Определение. Пусть - произвольное пространство элементарных событий. Вероятностью называется числовая функция , определенная на подмножествах (случайных событиях), удовлетворяющая следующим аксиомам:

1°. Аксиома неотрицательности: .

2°. Аксиома нормированности: .

3°. Аксиома счетной аддитивности:

Для любой последовательности событий , являющихся попарно несовместными

.

Если при изучении данного случайного эксперимента не возникает потребность в рассмотрении бесконечных последовательностей событий, то в определении вероятности аксиома счетной аддитивности 3° может быть заменена на аксиому конечной аддитивности.

3^*. Аксиома конечной аддитивности: для любых событий , являющихся попарно несовместными

.

Проверка аксиомы счетной аддитивности 3° на практике бывает весьма затруднительна. Для этого полезным является следующее утверждение.

Теорема (без доказательства). Аксиома счетной аддитивности 3° эквивалентна аксиоме конечной аддитивности 3^* и следующей аксиоме непрерывности:

4°. Аксиома непрерывности. Если события обладают свойствами:

1. ;

2. ,

(при этом говорят, что события образуют убывающую последовательность событий), то

.

Из аксиоматического определения вероятности вытекают следующие свойства вероятности.

4°. .

5°. .

6°. .

7°. .

(Свойства 4° – 7° были доказаны при рассмотрении классического определения вероятности сразу в общем случае).

8°. Теорема сложения вероятностей.

Для любых событий А и В (не обязательно несовместных)

.

▲ Представим событие В в виде:

.

Поскольку события являются несовместными, то по аксиоме аддитивности 3°

. (1)

Представим событие в виде:

.

Поскольку события являются несовместными, то по аксиоме 3°

. (2)

Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем

. ■

Задача. Доказать, что для любых трех событий А, В и С

.

Доказать общую формулу:

.

9°. Если события образуют полную группу событий, то

.

▲ Свойство следует из определения полной группы событий и аксиом 2° и 3°. ■

10°. .

▲ Представим событие А в виде:

.

Поскольку события являются несовместными, то по аксиоме аддитивности 3°

. ■

Из аксиоматического определения вероятности классическое и геометрическое определения следуют, как частные случаи (поскольку в них вероятность обладает свойствами 1° – 3°, совпадающими с аксиомами). Для примера покажем, как аксиоматическое определение вероятности позволяет конструктивно задать вероятность на любом пространстве элементарных событий, содержащем счетное число не обязательно равновозможных исходов.

Пусть . Каждому исходу поставим в соответствие неотрицательное число , так, чтобы . Тогда, если вероятность любого события А определить как , то она будет удовлетворять аксиомам 1°, 2°, 3°.