12. Закон сохранения момента импульса

Значение момента импульса в механике обусловлено тем, что наряду с импульсом и энергией он обладает свойством сохраняться в замкнутых системах тел.

1. Момент импульса

По определению, момент импульса материальной точки это вектор, равный векторному произведению радиус-вектора точки на вектор импульса:

. (12.1)

Выведем формулу момента импульса твердого тела при вращении вокруг неподвижной оси. Пусть твердое тело вращается относительно неподвижной оси. Траектории всех точек тела являются концентрическими окружностями. Для какой-то точки при скорости , момент импульса равен Раскрыв двойное векторное произведение, получим . Произведем суммирование моментов импульсов всех точек тела: . По определению сумма произведений масс частиц тела на квадраты их расстояний до оси вращения является моментом инерции тела J. Тогда момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения равен произведению момента инерции тела на угловую скорость:

. (12.2)

Момент импульса как и угловая скорость это аксиальный вектор, направление которого, , определяется правилом буравчика. Если вращать вместе с телом ручки буравчика, то поступательное движение буравчика совпадает с направлением вектора момента импульса вдоль оси вращения.

2. Закон сохранения момента импульс для одного тела

Согласно основному закону динамики вращательного движения относительно неподвижной оси изменение момента импульса тела равно импульсу момента силы: . Пусть на тело не действуют момент сил, либо моменты сил скомпенсированы. Тогда изменение момента импульса отсутствует . Но если изменения нет, то сам момент импульса постоянен. Отсюда следует закон сохранения момента импульса: если на тело не действует момент сил или моменты сил скомпенсированы, то момент импульса тела относительно оси вращения постоянен

. (12.3)

О тсюда следует, что быстро вращающееся тело в отсутствие внешнего воздействия, сохраняет положение оси вращения в пространстве. Примерами таких тел являются юла, гироскоп, планета. Если тело может уменьшать момент инерции тела, то угловая скорость вращения должна увеличиваться, и, наоборот, при увеличении момента инерции угловая скорость вращения уменьшается.

Например, фигуристка, или человек на скамье Жуковского, при сведении рук к телу начинает вращаться быстрее, а при разведении рук (особенно если они с гирями) – медленнее (рис. 12.1). Чтобы быстрее совершить переворот акробаты и гимнасты, придав вращательное движение при прыжке, группируются, поджимая руки и ноги к телу, уменьшая при этом момент инерции относительно оси.

При изменении угловой скорости вращения происходит изменение кинетической энергии вращательного движения. Так как , – то при постоянном значении момента импульса L энергия возрастает при уменьшении момента инерции. В рассмотренных примерах это происходит за счет совершения работы силами мускулов человека, направленных против действия центробежных сил.

При вращении Земли вокруг собственной оси, моменты внешних сил со стороны Вселенной отсутствуют. Значит, направление и величина момента импульса Земли постоянны, какие бы процессы не происходили внутри или на поверхности Земли. Поэтому направление оси вращения Земли на Полярную звезду неизменно. Правда, длительность суток в течение всего года чуть-чуть изменяется. Это обусловлено тем, что в космическом масштабе Земля это капля в оболочке из земной коры и поэтому извержения вулканов, смещение тектонических плит приводит к колебаниям формы Земли и величины её момента инерции. По закону сохранения момента импульса это приводит к колебаниям скорости вращения и длительности суток (до 0,001 с). На длительность суток ещё влияет потеря кинетической энергии вращения Земли вследствие трения приливных волн о дно океанов. При постоянном моменте импульса L=Jω потери энергии приводят к уменьшению угловой скорости вращения (на 1,64∙10^-3 с за сто лет).

При вращении Земли относительно Солнца также сохраняется орбитальный момент импульса . Отсюда следует закон Кеплера: секторальная скорость планет (произведение скорости на расстояние до Солнца) постоянна. В апогее, при удалении Земли от Солнца, скорость движения уменьшается, при приближении – возрастает.