5. Взаимное положение двух плоскостей

Две плоскости в пространстве по отношению друг к другу могут занимать два положения:

• плоскости пересекаются, при этом линия их пересечения всегда прямая;

• плоскости параллельны друг другу.

1. Условия пересечения плоскостей

Две произвольные плоскости в пространстве всегда пересекаются по прямой линии. Как известно, две точки вполне определяют положение прямой в пространстве. Следовательно, задача по построению линии пересечения плоскостей сводится к определению положения двух принадлежащих обеим плоскостям точек.

2. Условия параллельности плоскостей

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости:

• если плоскости заданы пересекающимися прямыми, то они будут параллельны в случае, когда одноименные проекции прямых, лежащих в разных плоскостях, будут параллельны;

• если плоскости заданы линиями уровня (фронталями и горизонталями), то они будут параллельны в случае, когда одноименные проекции линий уровня параллельны между собой;

• если плоскости заданы следами, то они параллельны тогда, когда параллельны их одноименные следы;

• если плоскости заданы любым другим способом, то в них необходимо построить пересекающиеся прямые (общего положения, уровня или следы) и сравнить одноименные их проекции. У параллельных плоскостей одноименные проекции пересекающихся прямых взаимно параллельны.

7. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ

И ПЛОСКОСТИ

7.1. Определение взаимного положения

прямой линии и плоскости

Прямая линия и плоскость в пространстве относительно друг друга могут занимать следующие положения:

• прямая параллельна плоскости (частный случай — прямая лежит в плоскости);

• прямая пересекается с плоскостью (частный случай — прямая перпендикулярна к плоскости).

Иногда на чертеже нельзя непосредственно установить взаимное

положение прямой линии и плоскости (рис. 7.1).

В этом случае прибегают к некоторым вспомогательным построениям, в результате которых от вопроса о взаимном положении прямой линии и плоскости переходят к вопросу о взаимном положении двух прямых. В задачах такого типа используют метод введения вспомогательной плоскости. Заключается он в следующем:

- через данную прямую m проводят вспомогательную плоскость . Подбор вспомогательной плоскости производится с учетом построений в ходе решения задачи, чтобы решение задачи было наиболее простым;

Строят линию пересечения плоскостей - заданной и вспомогательной ;

устанавливают взаимное положение прямой m и линии пересечения плоскостей n.

• При этом возможны следующие случаи:

• прямая m параллельна прямой n, следовательно, прямая m параллельна плоскости Σ;

• прямая m пересекает прямую n, следовательно, прямая m пересекает плоскость Σ.

7.2. Пересечение прямой линии и плоскости

Если одна из пересекающихся фигур занимает частное положение, то точка пересечения находится значительно проще.

7.2.1. Задание: найти точку пересечения отрезка прямой АВ с проецирующей плоскостью Р (рис. 7.2).

Рис. 7.2

Решение: проанализировав чертеж, легко заметить, что плоскость Р занимает проецирующее положение (плоскость Р перпендикулярна к плоскости П₂.)

В первую очередь определяем фронтальную проекцию С₂ точки пересечения отрезка прямой АВ с плоскостью Р. Горизонтальная проекция С₁ искомой точки находится с помощью линии связи на горизонтальной проекции отрезка прямой АВ. На плоскость П₂ плоскость Р проецируется в линию, сов­падающую с фронтальным следом Р₂ , следовательно прямая видима по обе стороны от следа Р₂.

При определении видимости горизонтальной проекции прямой необходимо установить, какой участок прямой находится над плоскостью Р, т.е. будет видимым на горизонтальной проекции. Таким участком является часть проекции отрезка, расположенная левее проекции С₁.

7.2.2. Задание: найти точку пересечения проецирующей прямой т с плоскостью (АВС) (рис. 7.3).

Решение: из чертежа видно, что плоскость, заданная треугольником ABC, занимает общее положение относительно плоскостей про­екции, прямая m является горизонтально проецирующей, m . В первую очередь определяется горизонтальная проекция k₁ искомой точки пересечения прямой m с плоскостью .

Д ля нахождения фронтальной проекции точки К₂ в плоскости треугольника ABC проводится вспомогательная прямая 1-2.

Построение начинается с горизонтальной проекции. В пересечении её фронтальной проекции 1₂-2₂ с фронтальной проекцией прямой m находят фронтальную проекцию К₂ искомой точки К.

7.2.3. Задание: найти точку пересечения прямой m общего положения с плоскостью общего положения Σ (ABC) (рис. 7.4).

Решение: в данной задаче прямая m и плоскость Σ занимают общее положение относительно плоскостей проекции. Задача решается по следующей схеме:

• прямую m заключают в плоскость . В данном случае плоскость является горизонтально проецирующей ( );

• находят линию DE пересечения плоскостей Σ (АВС) и ;

• определяют точку К пересечения прямой m с плоскостью Σ в пересечении прямых DE и т.д.

Видимость прямой m относительно плоскости (АВС) определяется с помощью метода конкурирующих точек.

Метод конкурирующих точек заключается в следующем:

Для определения видимости прямой m на горизонтальной плоскости выбирается пара точек 1 и D (см.рис.7.4). У этих точек координаты у одинаковы у₁=у_D, координаты z различны (z_D > z₂) , точка D выше точки 1 (координата точки D больше координаты точки 1). Следовательно, на горизонтальной проекции точка D видима, а 1 невидима.Tак как точка 1 принадлежит прямой m, то левее проекции точка K₁ прямая m находится ниже плоскости треугольника ABC, то есть она не видима (должна быть проведена штриховой линией).

Для определения видимости на фронтальной проекции можно воспользоваться парой точек 2 и 3 и рассмотреть вопрос видимости аналогично точкам 1 и D.