4.Метод разделения переменных (метод Фурье)
Метод разделения переменных или метод Фурье является одним из самых распространенных методов решения уравнений с частными производными. Этот метод можно применить для решения уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов.
Задача. Найти решение уравнения
(1)
Где
Однородные граничные условия:
,
(2)
Начальные условия:
, (3)
В силу линейности и однородности уравнение (1) сумма частных решений также является решением этого уравнения. Если мы будем располагать достаточно большим числом частных решений, то путем их суммирования можно найти искомое решение.
Поставим вспомогательную задачу. Найти решение уравнения (1) тождественно не равного нулю, удовлетворяющее условию(2) решение которого можно представить виде:
(4)
Предполагаемую
форму решения (4) подставляем в (1) и
поделим на
,
получаем:
(5)
Такое равенство возможно, если прировнять к const.
Из данного
соотношения получаем ОДУ для нахождения
функций
(6)
(7)
Граничные условия (2) дают
(8)
(8) – дополнительное
условие для
.
Для функции
дополнительных условий нет.
При решении уравнений (6) с условиями (8) мы приходим к простейшей задаче о собственных значениях и собственных функциях.
Найдем те значения параметра , при которых существует нетривиальные решения задачи (6) с условиями (8), а также найти эти решения. Таки значения параметра называются собственными значениями, а соответствующее им нетривиальное решение – собственные значения функции задачи (6).
1.
2.
1 и 2 – это тривиальный случай.
3. Нетривиальное
решение будет существовать только при
В этом случае общее решение можно записать виде:
Граничные условия дают:
Так как мы ищем
решения, не равные тождественно нулю,
то
,
поэтому
или
Следовательно,
нетривиальное решение задачи возможны
лишь при значениях
Этим собственным значением соответствуют собственные функции
(10)
Где
–
произвольная постоянна. Или с точностью
до произвольного постоянного множителя:
(11)
Значениям соответствуют решение уравнения (7):
(12)
Таки образом, частное решение (1) имеет вид
Общее решение записывается как сумма частных
(13)
Где
– коэффициенты,
которые еще не определены.
Это решение автоматически удовлетворяет граничным условиям, а начальные условия позволяют определить .
Начальные условия:
(14)
(15)
Рассмотрим случай
когда
.
При подстановке верхнего и нижнего предела даст ноль, следовательно доказали ортогональность решения.
Рассмотрим случай
когда
.
Результатом интегрирования будет:
(16)
Введем функцию
нормированную на единицу. Если мы до
множим
на
,
получим 
.
Вернемся к формулам (14) и (15).
Данное выражение умножаем на и интегрируем:
По формуле (16)
заменяем вторую часть уравнения на
.
В итоге получаем, что данное выражение
равно
.
Выражение для
будет
иметь вид:
(17)
Аналогично для
Коэффициенты определены, задача решена.