1.Классификация дифференциальных уравнений с частными производными

1.1 Основные дифференциальные уравнения математической физики

Многие задачи механики сплошных сред, электродинамики, квантовой механики приводят к исследованию и решению дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Так, например, при изучении различных видов волн мы приходим к волновому уравнению вида:

. (1)

Где а – скорость распространения волны в данной среде; u – неизвестная функция; x, y, z – декартовы переменные.

Для краткости часто используют обозначения для производных:

, , и т.д.

В таких обозначениях уравнение (1) примет вид

.

Процессы распространения тепла в однородной изотропной среде, так же как и явление диффузии, описываются уравнением теплопроводности

(2)

При рассмотрении установившегося теплового состояния в однородном изотропном теле приходим к уравнению Пуассона:

(3)

При отсутствии источников тепа внутри тела уравнение (3) переходит в уравнение Лапласа:

(4)

Потенциал поля тяготения и стационарного электрического поля также удовлетворяют уравнению Лапласа в тех точках пространства, где отсутствуют масса и электрические заряды.

Уравнения (1) – (4) часто называют основными уравнениями физики. Их изучение дает возможность построить теорию широкого круга физических явлений и решить ряд физических и технических задач. Каждое из уравнений (1) – (4) имеет бесконечное множество частных решений. При решении конкретной физической задачи необходимо из всех решений выбрать то, которое удовлетворяет некоторым дополнительным условиям из её физического смысла. Такими дополнительными условиями чаще всего является граничные и начальные условия.

Задача математической физики считается корректно поставленной, если решение задачи, удовлетворяющее всем ее условиям, существует, единственно и устойчиво. Устойчивость означает, что малые изменения любого из данных задачи должны вызывать соответственно малое изменение решение.

2.Классификация уравнений с частными производными второго порядка

2.1.Дифференциальное уравнение с двумя неизвестными переменными

Определение 1. Уравнением в частных производных второго порядка с двумя неизвестными переменными x, y называется соотношением между неизвестной функцией и ее частными производными до второго порядка включительно:

(1)

Определение 2. Уравнение называется линейным относительно старших производных, если оно имеет вид

(2)

Где – коэффициенты, зависящие от x y . Если зависят не только от x и y , но и от , то уравнение называется квазилинейным.

Определение 3. Уравнение называется линейным , если оно линейно как относительно старших производных, так и относительно самой функции и её производных :

(3)

Где –функции, зависящие только от . Если данные величины не зависят от x и y, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами.

Определение 4. Уравнение (3) называется однородным, если

Поставим задачу. С помощью преобразований переменных вводим новые переменные, которые допускают обратные преобразования:

(4)

Переменные и должны быть дважды непрерывно дифференцируемыми функциями, причем Якобиан преобразований:

В этой области, которую мы рассматриваем.

Это условие означает что переменные и независимы и возможны обратные преобразования.

При преобразовании переменных в новых переменных уравнение (3) перепишется следующем в виде:

(5)

где

Функция должна быть дважды дифференцируема. Это значит что смешанные производные будут одинаковы.

Уравнение (5) эквивалентно (3) только записано в новых переменных.

Можно показать что .

Где

Новые переменные можно выбрать таки образом, что выполняется одно из 3 условий:

1.

2.

3. ;

Выбор новых переменных. Переменные и выбираем таким образом, чтобы коэффициент был равен нулю. Рассмотрим уравнение с частными производными 1-ого порядка

(6)

Пусть – частное решение данного уравнения. Если положить , то .

Таки образом, задача о рациональном выборе новых переменных связана с решением уравнения(6).

Лемма 1. Если является частным решением уравнения (6) , то соотношение представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения

(7)

Лемма 2.(обратная лемме 1) Если представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения

То функция удовлетворяет уравнению (6).

Уравнение (7) называют характеристическим для уравнения (2), а его интегралы – характеристиками.

Таким образом, леммы дают алгоритм, которому надо следовать при упрощении уравнений. Если положить и ,то получим два общих интеграла.

(8)

Знак определяет тип уравнения (2).

Определение 5. Уравнение (2) в точке М называется уравнением:

гиперболического типа, если ,

параболического типа, если ,

эллиптического типа, если .