Расчет средних арифметических величин
Пример: Алгоритм анализа результатов исследования самоактуализации (САТ) учащейся молодежи
Расчет средней арифметической, медианы, моды (по каждой шкале) (см. таблицу):
,
Ме = 45, Мо = 44
Медиана (Ме) – это количественное значение изучаемого признака, соответствующее середине упорядоченной последовательности измеряемых величин (при нечетном количестве членов ряда), полусумме значений середины упорядоченной последовательности измеряемых величин (при четном количестве членов ряда).
Модой (Мо) называется количественное значение чаще всего встречающейся в выборке измеряемой величины.
Определение среднестатистического значения показателя важно не только для выявления центральной тенденции измерения признака, но и для оценки распределения частных значений изучаемого признака. При совпадении значений моды, медианы и среднего арифметического значения или их небольшом отличии друг от друга есть все основания утверждать, что полученное выборочное распределение признаков подчиняется так называемому нормальному закону распределения, при котором частота встречаемости частных значений f(x) в выборке симметрична относительно среднего значения, что поясняется графически (рисунок 1).
Если выборочное распределение признаков нормально, то к нему можно применять методы вторичных статистических расчетов, основанные на нормальном распределении данных.
Рисунок 1–
Нормальное распределение
Рисунок 2 –
Асимметрия распределения результатов
измерения
Рисунок 3 –
Островершинное распределение данных
измерения
Рисунок 4 –
Туповершинное распределение данных
измерения
В случае же несовпадений (сомнений по поводу нормальности распределения) следует рассчитать показатель асимметрии, если распределение результатов несимметрично относительно среднего выборочного значения (рисунок 2), т.е. обладает правосторонней или левосторонней асимметрией, или показатель эксцесса, характеризующий поведение вершины результатов распределения измерений изучаемых величин (островершинность – рисунок 3; туповершинность – рисунок 4).
Требование нормальности распределения признака можно обойти по крайней мере двумя путями: при слишком скошенном, островершинном или плосковершинном распределении можно, во-первых, нормализовать данные, а во-вторых... просто вообще по этому поводу «не волноваться», как советуют, например, А.К. Kurtz и S.T. Мауо (1979, р.417).
Расчет среднего квадратичного отклонения:
;
Расчет статистической ошибки средней арифметической:
;
Расчет доверительного коэффициента:
,
P<0,001.
Расчет показателей асимметрии (А) и эксцесса (Е) по формулам Н.А. Плохинского и сопоставление их с критическими значениями, указанными Н.А. Плохинским:
;
ошибка
репрезентативности
;
;
ошибка
репрезентативности
,
где (хі – Мх) – центральные отклонения;
σ – стандартное отклонение;
n – количество испытуемых.
Показатели асимметрии и эксцесса свидетельствуют о достоверном отличии эмпирических распределений от нормального в том случае, если они превышают по абсолютной величине свою ошибку репрезентативности в 3 и более раз:
;
.
Расчет критических значений показателей асимметрии и эксцесса по формулам Е.И. Пустыльника и сопоставление с ними эмпирических значений:
;
.
Если эмпирические значения показателей окажутся ниже критических, сделаем вывод о том, что распределение признака не отличается от нормального.
Таблица 7 – Пример расчета среднего арифметического значения
индивидуальных «профилей» учащихся по шкале «Ориентация во времени» САТ (с применением компьютерной программы Microsoft Office Excel 2003)
Количество членов ряда: 100 |
|||||||||
Количество вариант: 31 |
|||||||||
Средняя арифметическая: 45,8 |
Медиана: 45 |
Мода: 44 |
|||||||
Среднеквадратичное отклонение, σ: 8,442748368 |
|||||||||
Ошибка средней арифметической, Sx: 0,844274837 |
|||||||||
Доверительный коэффициент, t: 54,24773783 |
|||||||||
Вероятность ошибки, Р: 1,9E-75 |
|||||||||
Показатель асимметрии, A: 0,37882 |
|||||||||
Ошибка показателя асимметрии, mA: 0,244948974 |
|||||||||
Показатель эксцесса, E: -0,10027 |
|||||||||
Ошибка показателя эксцесса, mE: 0,489897949 |
|||||||||
Показатель достоверности нормального распределения для асимметрии, tA:1,546543 |
|||||||||
Показатель достоверности нормального распределения для эксцесса, tE: 0,20467 |
|||||||||
Критическое значение показателя асимметрии, Акр.: 0,716861 |
|||||||||
Критическое значение показателя эксцесса, Екр.: 2,273735 |
|||||||||
∑ |
|
100 |
4580 |
|
|
7128 |
22797,6 |
1473307,2 |
|
№ п/п |
Варианты, х |
Частота, р |
x×p |
Отклонение вариант, d=x-Mx |
d2 |
p×d2 |
p×d3 |
p×d4 |
|
1 |
28 |
1 |
28 |
-17,8 |
316,84 |
316,84 |
-5639,752 |
100387,586 |
|
2 |
31 |
2 |
62 |
-14,8 |
219,04 |
438,08 |
-6483,584 |
95957,0432 |
|
3 |
32 |
2 |
64 |
-13,8 |
190,44 |
380,88 |
-5256,144 |
72534,7872 |
|
4 |
33 |
1 |
33 |
-12,8 |
163,84 |
163,84 |
-2097,152 |
26843,5456 |
|
5 |
34 |
5 |
170 |
-11,8 |
139,24 |
696,2 |
-8215,16 |
96938,888 |
|
6 |
35 |
1 |
35 |
-10,8 |
116,64 |
116,64 |
-1259,712 |
13604,8896 |
|
7 |
37 |
6 |
222 |
-8,8 |
77,44 |
464,64 |
-4088,832 |
35981,7216 |
|
8 |
38 |
4 |
152 |
-7,8 |
60,84 |
243,36 |
-1898,208 |
14806,0224 |
|
9 |
39 |
1 |
39 |
-6,8 |
46,24 |
46,24 |
-314,432 |
2138,1376 |
|
10 |
41 |
7 |
287 |
-4,8 |
23,04 |
161,28 |
-774,144 |
3715,8912 |
|
11 |
42 |
6 |
252 |
-3,8 |
14,44 |
86,64 |
-329,232 |
1251,0816 |
|
12 |
44 |
10 |
440 |
-1,8 |
3,24 |
32,4 |
-58,32 |
104,976 |
|
13 |
45 |
8 |
360 |
-0,8 |
0,64 |
5,12 |
-4,096 |
3,2768 |
|
14 |
46 |
8 |
368 |
0,2 |
0,04 |
0,32 |
0,064 |
0,0128 |
|
15 |
47 |
2 |
94 |
1,2 |
1,44 |
2,88 |
3,456 |
4,1472 |
|
Продолжение таблицы 7 |
|||||||||
16 |
48 |
5 |
240 |
2,2 |
4,84 |
24,2 |
53,24 |
117,128 |
|
17 |
49 |
1 |
49 |
3,2 |
10,24 |
10,24 |
32,768 |
104,8576 |
|
18 |
50 |
4 |
200 |
4,2 |
17,64 |
70,56 |
296,352 |
1244,6784 |
|
19 |
51 |
1 |
51 |
5,2 |
27,04 |
27,04 |
140,608 |
731,1616 |
|
20 |
52 |
1 |
52 |
6,2 |
38,44 |
38,44 |
238,328 |
1477,6336 |
|
21 |
53 |
1 |
53 |
7,2 |
51,84 |
51,84 |
373,248 |
2687,3856 |
|
22 |
54 |
4 |
216 |
8,2 |
67,24 |
268,96 |
2205,472 |
18084,8704 |
|
23 |
55 |
8 |
440 |
9,2 |
84,64 |
677,12 |
6229,504 |
57311,4368 |
|
24 |
56 |
2 |
112 |
10,2 |
104,04 |
208,08 |
2122,416 |
21648,6432 |
|
25 |
57 |
1 |
57 |
11,2 |
125,44 |
125,44 |
1404,928 |
15735,1936 |
|
26 |
58 |
1 |
58 |
12,2 |
148,84 |
148,84 |
1815,848 |
22153,3456 |
|
27 |
59 |
1 |
59 |
13,2 |
174,24 |
174,24 |
2299,968 |
30359,5776 |
|
28 |
60 |
1 |
60 |
14,2 |
201,64 |
201,64 |
2863,288 |
40658,6896 |
|
29 |
63 |
2 |
126 |
17,2 |
295,84 |
591,68 |
10176,896 |
175042,611 |
|
30 |
65 |
1 |
65 |
19,2 |
368,64 |
368,64 |
7077,888 |
135895,45 |
|
31 |
68 |
2 |
136 |
22,2 |
492,84 |
985,68 |
21882,096 |
485782,531 |
|