2. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

Положение точки , изображающей комплексное число на плоскости, может быть задано с помощью полярных координат (рис. 12), где - длина вектора а - угол между положительным Рис. 12 направлением оси и вектором . О чевидно, модуль комплексного числа .

Определение. Число называют аргументом комплексного числа и обозначают , т.е. = .

Аргумент числа не определен.

Определение. Аргумент комплексного числа , удовлетворяющий условиям

называют главным значением аргумента числа и обозначают его ( ).

Замечание. Если , то , если ; , если и ;

, если и .

Из треугольника имеем , , , откуда

Определение.

, (3)

где и называют тригонометрической формой комплексного числа .

Из формулы (3) и периодичности тригонометрических функций действительного аргумента следует, что число может быть записано в форме .

Модуль комплексного числа определяется однозначно, а аргумент этого числа - с точностью до слагаемого .

Пример 14. Найти модуль и главное значение аргумента чисел:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д ) ;

е) .

Решение.

а) , ;

б) ,

;

в) , ;

Рис.13 г) , ;

д) , . .

Так как и , то ;

е) , , . Так как и , то .

Пример 15. Определить тип линий, заданных уравнениями:

а) ; б) .

Решение. а) определяет множество точек, отстоящих от начала координат на расстоянии единиц, т.е. есть уравнение окружности радиуса с центром в начале координат.

б) Уравнению удовлетворяют точки, расположенные на биссектрисе первого координатного угла.●

Комплексное число обозначают через , = (формула Эйлера). (4)

Пользуясь формулой Эйлера, комплексное число можно записать в форме .

Определение.

, (5)

где и называют показательной формой комплексного числа .

Из формул (1), (3) и (5) имеем

(комплексное число в алгебраической, тригонометрической и показательной формах), где и .

Очевидно, .

Из формулы Эйлера следует

Очевидно, все точки комплексной плоскости, показательная форма которых имеет вид , имеют модуль, равный , т. е. лежат на окружности радиуса с центром в начале координат.

Из равенств и следуют формулы

, (6)

Произведение комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах

Рассмотрим произведение двух комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах.

Пусть и . Тогда . Из последнего имеем .

С ледовательно, модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а главное значение аргумента произведения с точностью до равно сумме аргументов сомножителей. Рис. 14 Из предыдущего следует, что при геометрическом умножении комплексного числа на вектор нужно повернуть вокруг начала координат на угол и растянуть полученный вектор в раз (рис. 14).

Очевидно, что для сопряженных комплексных чисел имеют место следующие формулы:

; ; .

Утверждение. Если , то

(7)

► Воспользуемся методом полной математической индукции. Доказано, что .

Предположим, что (при это равенство справедливо).

Тогда .

Следовательно, формула (7) справедлива при . ◄

Следствие. Если , то

. (8)

Формула (8) есть формула для возведения в целую положительную степень комплексного числа, заданного в тригонометрической и показательных формах.

Из формулы (8) следует

,

(с точностью до ).

При из формулы (8) получим формулу Муавра

.

Из формулы Муавра можно легко выразить и через степени и .

Например,

, откуда, сравнивая действительные и мнимые части левой и правой частей равенства, имеем

,

Пример 16. Упростить выражение .

Решение.

.

Так как , то . .●

Пример 17. Найти , если .

Решение.

,

откуда , или .

, . . ●