6. Односторонние и бесконечные производные
Если функция задана на замкнутом интервале, то при определении производных на концах интервала приходится ограничиваться для левого конца значениями аргумента справа, а для правого конца - слева от него. Таким образом, возникает определение понятия односторонней производной. Может случиться также, что для некоторых внутренних точек существуют односторонние производные не равные между собой. Такие точки называются угловыми.
Если
предел (1.1.1) равен
,
то говорят что в точке
функция имеет бесконечную производную.
В этом случае угол наклона касательной
к графику функции равен
,
т.е. сама касательная параллельна оси
ординат. При этом односторонние
производные могут иметь одинаковые или
разные знаки.
Мусор.
1.
Поскольку в точке
существует производная
,
то приращение
можно представить в виде
,
где
бесконечно малая величина при
.
Поскольку в точке
существует производная
,
то приращение
можно представить в виде
,
где
бесконечно малая величина при
.
Подставляя последнее выражение в предшествующее к нему, получим
Разделив
полученное соотношение на
и перейдя к пределу при
получим
Текущий контроль.
1. Являются ли непрерывными основные элементарные функции?
2. Являются ли непрерывной сложная функция, составленная из непрерывных функций?
3. Каковы условия существования непрерывной обратной функции?
4. Сформулируйте 1-ю теорему Больцано-Коши.
5. Сформулируйте 2-ю теорему Больцано-Коши.
6. Сформулируйте 1-ю теорему Вейерштрасса.
7. Сформулируйте 2-ю теорему Вейерштрасса.
1
2
.
3 Имена гиперболических синуса и косинуса представлены в обозначениях Mathcad.
4 Имена гиперболических синуса и косинуса представлены в обозначениях Mathcad.