5. Таблица производных

Получим сейчас формулы для дифференцирования основных элементарных функций. Знание этих формул совместно с ранее полученными правилами дифференцирования позволит нам выполнять дифференцирование элементарных функций.

1. Пусть . Применяя формулу (1.1.1) получим

. (1)

2. Пусть . Тогда

. (2)

3. Получим производную степенной функции с вещественным показателем степени . При этом воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых величин.

. (3)

В частном случае, когда - целое число

. (4)

4. Для получения формулы дифференцирования показательной функции ( также воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых величин

. (5)

В частном случае, когда

. (6)

5. Для получения формулы дифференцирования логарифмической функции ( также воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых величин. В результате получим

. (1)

В частном случае, когда

. (2)

Перейдем теперь к вычислению производных тригонометрических функций.

6. Найдем производную функции . Пользуясь таблицей эквивалентных бесконечно малых величин, получим

¹

. (9)

7. Найдем производную функции . Пользуясь таблицей эквивалентных бесконечно малых величин, получим

²

. (10)

8. Найдем производную функции . Пользуясь правилами дифференцирования, получим

. (11)

9. Найдем производную функции . Пользуясь правилом дифференцирования частного от деления двух функций, получим

. (12)

10. Найдем производную функции , где , а . Очевидно , тогда пользуясь формулами (3.1) и (9), получим

. (13)

Здесь было использовано свойство функции на промежутке .

11. Найдем производную функции , где , а . Очевидно , тогда пользуясь формулами (3.1) и (10), получим

. (14)

Здесь было использовано свойство функции на промежутке .

12. Найдем производную функции , где , а . Очевидно , тогда пользуясь формулами (3.1) и (11), получим

. (15)

13. Найдем производную функции , где , а . Очевидно , тогда пользуясь формулами (3.1) и (12), получим

. (16)

14. Так как гиперболический синус определяется соотношением

, то

. (17)

15. Так как гиперболический косинус определяется соотношением

, то

. (18)

Графики гиперболического синуса и косинуса представлены на рис. 1.

Рис. 1. Синус и косинус гиперболические³

16. Так как гиперболический тангенс определяется соотношением

, то

. (19)

17. Так как гиперболический котангенс определяется соотношением

, то

. (20)

Графики гиперболического тангенса и котангенса представлены на рис. 2.

Рис. 2. Тангенс и котангенс гиперболические⁴

Результаты вычисления производных представлены в таблице.

Таблица

Производные основных элементарных функций

№	Функция	Производная
1
2
3
4
5	(
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20