Задания для самостоятельного решения:
1. Вычислить повторные интегралы:
а)
;
б)
.
2. Вычислить двойной интеграл по данной области :
а)
,
где
:
,
;
б)
,
если
:
,
;
в)
,
если
:
,
;
г)
,
где
ограничена линиями
,
,
,
;
д)
,
где область
ограничена линиями
,
,
,
;
е)
,
где
- круг
.
3. Вычислить интегральные средние значения данных функций в указанных областях:
а)
,
- круг
;
б)
;
область
ограничена линиями
,
,
.
4. Найдя подходящую замену переменных, вычислить двойной интеграл, в заданных прямоугольных координатах:
,
где D
ограничена кривыми
,
,
,
.
5. Вычислить интегралы, переходя к полярным координатам:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
,
где область D
ограничена окружностями
,
и осью
;
д)
;
е)
,
где D
– круг, ограниченный окружностью
;
ж)
,
где D
ограничена кривыми
,
,
;
з)
,
где D
ограничена окружностью
;
и)
,
где D
– круг
.
6. Вычислить площади фигур, ограниченных кривыми:
а)
,
;
б)
Указание.
в)
;
г)
,
,
,
7.
Найти массу пластины
с поверхностной плотностью
а)
б)
в)
8. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями:
а)
|
б)
|
в)
|
|
,
,
.
,
.
,
.
9. Вычислить тройные интегралы в прямоугольных координатах:
а)
,
где
ограничена цилиндром
и плоскостями
и
;
б)
,
где
лежит в первом октанте и ограничена
сферой
и координатными плоскостями
,
;
в)
,
где
ограничена плоскостями
,
,
,
.
10. Переходя к цилиндрическим координатам, вычислить данные тройные интегралы:
а)
,
где
- ограничена сферой
,
конусом
и содержит точку
;
б)
,
где область
задана неравенствами
,
,
;
11. Вычислить повторные интегралы:
а)
|
б)
|
12. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
,
,
.
13.
Вычислить координаты центра тяжести
тела, ограниченного параболоидом
и плоскостью
.
14.
Вычислить массу прямоугольного
параллелепипеда
,
,
,
если плотность в точке
пропорциональна сумме координат этой
точки.
Сыктывкарский государственный университет