§2. Замена переменных в двойном интеграле

Пусть функция непрерывна в некоторой замкнутой ограниченной области . Тогда для функции существует двойной интеграл

Предположим, что с помощью формул мы переходим к новым переменным и . Переменные и являются функциями непрерывными вместе со своими частными производными первого порядка по и в некоторой замкнутой области G плоскости . Предположим также, что эти функции взаимно однозначно и непрерывно отображают область G на область .

Тогда имеет место равенство

, где

–

называется якобианом преобразования G в (предполагается, что определитель всюду отличен от нуля).

Координаты называются криволинейными координатами точки , поскольку уравнения и представляют некоторые линии в области G.

Интеграл

называется двойным интегралом в криволинейных координатах.

Простейшим и важнейшим частным случаем криволинейных координат являются полярные координаты . Они связаны с прямоугольными координатами формулами Якобиан преобразования в этом случае равен

а - элемент площади в полярных координатах.

При этом имеет место формула замены переменных в двойном интеграле при переходе к полярным координатам

К полярным координатам особенно удобно переходить в тех случаях, когда область интегрирования круг или часть круга. Расстановка пределов и вычисление двойного интеграла в криволинейных координатах выполняется аналогично случаю прямоугольных координат.

Пример 1. Вычислить двойной интеграл

по области , ограниченной прямыми , , , .

Область - параллелограмм АВСК (рис.8 а). Хотя подынтегральная функция и область интегрирования просты, вычисление данного интеграла в прямоугольных координатах достаточно громоздко. Заметив, что уравнения прямых можно записать в виде , , и , перейдем к новым координатам

откуда

Имеем

т. е. В новой системе координат (u,v) область G ограничена прямыми , , , , т. е. представляет собой прямоугольник (рис.8 б), а подынтегральная функция равна

Рис.8.

Первая система формул, написанная выше, преобразует параллелограмм АВСК в прямоугольник , вторая система – наоборот, преобразует прямоугольник в параллелограмм АВСК. При этом видно, что направление обхода вершин одной фигуры соответствует противоположному направлению обхода вершин другой. Именно поэтому J<0. Переходим к вычислениям:

Пример 2. Вычислить

где - область, ограниченная кривыми , , , .

Область изображена на рис.9 а. Подходящая замена переменных позволяет свести этот интеграл к интегралу по прямоугольнику.

Введем новые переменные и при помощи равенств , . Выразим отсюда переменные и через и :

Рис. 9.

Находим якобиан полученного преобразования

откуда, с учетом того, что на области , а значит, имеем

Таким образом, исходный интеграл в плоскости имеет вид

Граница области G описывается линиями (так как одна из формул преобразования имеет вид , то линии в плоскости соответствует линия в плоскости ), (рис. 9 б).

Поэтому область G имеет вид , а преобразованный интеграл вычисляется проще:

Пример 3. Вычислить интеграл

где - круг .

Строим круг радиуса с центром в точке (рис.10). Подынтегральная функция четная по переменной , а область интегрирования симметрична относительно оси Поэтому можно вычислить интеграл только по верхнему полукругу и результат удвоить:

Рис. 10.

Переходим к полярным координатам , Для удобства расстановки пределов в полярных координатах совместим полярную систему с прямоугольной так, как это показано на рис. 10. Тогда полукруг в полярных координатах задается системой неравенств подынтегральная функция примет вид а Таким образом,

Пример 4. Вычислить повторный интеграл

Сначала преобразуем повторный интеграл в двойной:

, где

Рис. 11.

Область интегрирования представляет собой четверть круга (рис.11 а), поэтому удобно перейти к полярным координатам Полярную систему координат изобразим также в виде прямоугольной (рис. 11 б). Тогда область G в системе координат определяется системой неравенств

т.е. G – прямоугольник. Подынтегральная функция имеет вид Следовательно,

Пример 5. Вычислить

,

где - область, ограниченная лемнискатой

Рис. 12.

Заменяя на , а на , получим уравнение лемнискаты (рис. 12) в полярных координатах ( при ). Подынтегральная функция равна В силу симметрии лемнискаты относительно оси и четности подынтегральной функции относительно переменной можно записать:

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение якобиана преобразования G в D.

2. Что называется двойным интегралом в криволинейных координатах?

3. Чему равен якобиан преобразования в случае полярных координат?

4. В каком случае при вычислении двойного интеграла удобно переходить к полярным координатам?