66. Случайный сигнал. Основные вероятностные характеристики случайного сигнала.

Основные характеристики случайных сигналов

Информация, передаваемая по каналу связи или извлекаемая в результате измерения, заключена в сигнале.

До приема сообщения (до испытания) сигнал следует рассматривать как случайный процесс, представляющий собой совокупность (ансамбль) функций времени, подчиняющихся некоторой общей для них статистической законо­мерности. Одна из этих функций, ставшая полностью известной после прие­ма сообщения, называется реализацией случайного процесса. Эта реализация является уже не случайной, а детерминированной функцией времени.

Важной, но не исчерпывающей характеристикой случайного процесса является присущий ему одномерный закон распределения вероятностей.

На рис.1.19 изображена совокупность функций х₁(t), х₂(t), ..., образую­щих случайный процесс X(t). Значения, которые могут принимать отдель­ные функции в момент времени t =t₁ образуют совокупность случайных ве­личин х₁(t), х₂(t), ...

Вероятность того, что величи­на x_k(t₁)при измерении попадает в какой-либо заданный интервал (а, b) (рис.1.19), определяется вы­ражением

P_t1 (а < х b) . (1.132)

Рис.1.19. Совокупность функций, образующих случайный процесс

Д ля практических приложений наибольшее значение имеют следующие параметры случайного процесса:

математическое ожидание , (1.134)

д исперсия , (1.135)

средне-квадратическое отклонение

. (1.136)

П ри анализе случайных процессов часто основной интерес представляет его флуктуационная составляющая. В таких случаях применяется корре­ляционная функция.

(1.139)

Исследование случайного процесса, а также воздействия его на радио­цепи существенно упрощается при стационарности процесса.

Случайный процесс называется строго стационарным, если его плотность вероятности

р (х₁ ,х₂, ..., х_п; t₁ ,t₂, ..., t_n) произвольного порядка п зависит только от интервалов t₂—t₁, t₃—t₁, ..., t_n—t₁ и не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргумента t.

В радиотехнических приложениях теории случайных процессов условие стационарности обычно ограничивается требованием независимости от вре­мени только одномерной и двумерной плотностей вероятности (случайный процесс, стационарный в широком смысле). Выполнение этого условия поз­воляет считать, что математическое ожидание, средний квадрат и дисперсия случайного процесса не зависят от времени, а корреляционная функция за­висит не от самих моментов времени t₁ и t₂ , а только от интервала между ними τ = t₂ — t₁.

67. Спектральное представление случайного сигнала (теорема Винера-Хинчина).

С одной стороны, скорость изменения х(t) во времени определяет шири­ну спектра. С другой стороны, скорость изменения х (t) определяет ход ковариационной функции. Очевидно, что между W_х(ω) и К_х(τ) имеется тес­ная связь.

Теорема Винера — Хинчина утверждает, что К_х(τ) и W_x(ω) связаны между собой преобразованиями Фурье:

(1.157)

(1.158)

Для случайных процессов с нулевым средним аналогичные выражения имеют вид:

, (1.159)

.(1.160)

Из этих выражений вытекает свойство, аналогичное свойствам преобра­зований Фурье, для детерминированных сигналов: чем шире спектр случайного процесса, тем меньше интервал корреляции, и соответственно чем больше интервал корреляции, тем уже спектр процесса (см.рис.1.20).

Рис.1.20. Широкополосный и узкополосный спектры случайного процесса; границы центральной полосы : ±F₁

Большой интерес представляет белый шум, когда спектр равномерен на всех частотах .

Е сли в выражение 1.158 подставить W_x(ω) = W₀ = const, то получим

(1.161)

где δ(τ) — дельта-функция.

Для белого шума с бесконечным и равномерным спектром корреляцион­ная функция равна нулю для всех значений τ, кроме τ = 0, при котором R_x(0) обращается в бесконечность. Подобный шум, имеющий игольчатую структуру с бесконечно тонкими случайными выбросами, иногда называют дельта-коррелированным процессом. Дисперсия белого шума бесконечно велика.