62.Спектральное представление непериодического сигнала. Энергетический спектр и его связь с корреляционной функцией сигнала.

Гармонический анализ периодических сигналов можно распространить на непериодические сигналы. Пусть такой сигнал s(t) задан в виде некоторой функции, отличной от нуля в промежутке (t₁, t₂) (рис. 1.5).

Рис.1.5 Непериодический сигнал

Выделив произвольный отрезок времени Т, включающий в себя проме­жуток (t₁, t₂), мы можем представить заданный сигнал в виде ряда Фурье.

, 0<t<T , (1.43)

где , а коэффициенты с_п в соответствии с формулой (1.22)

. (1.44)

Подставив (1.44) в (1.43), получим

, 0<t<T . (1.45)

Здесь учтено, что

Поэтому в выражении (1.45) можно заменить на на текущую частоту , а операцию суммирования операцией интегрирования.

Таким образом, приходим к двойному интегралу Фурье

. (1.46)

Внутренний интеграл, являющийся функцией ,

, (1.47)

называется спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции s(t).

В общем случае, когда пределы t₁ и t₂ и не уточнены, спектральная плот­ность записывается в форме

. (1.48)

После подстановки (1.48) в выра­жение (1.46) получаем:

Для детерминированного сигнала s(t) конечной длительности корре­ляционная функция определяется следующим выражением:

, (1.77)

где τ — временной сдвиг сигнала.

Учитывая, что S (ω) S* (ω) = S² (ω), приходим к искомому соотно­шению

(1.83)

На основании известных свойств преобразований Фурье можно также написать:

(1.84)

Итак, прямое преобразование Фурье (1.84) корреляционной функции B_s(τ) дает спектральную плотность энергии , а преобразование (1.83) дает корреляционную функцию В_s(τ).

63 Основные свойства преобразования Фурье

1) Сдвиг сигналов во времени

Пусть сигнал s₁(t) произвольной формы существует на интервале вре­мени от t₁ до t₂ и обладает спектральной плотностью S₁ ( ). При задержке этого сигнала на время t₀ (при сохранении его формы) получим новую функ­цию времени

_,

существующую на интервале от t₁ + t₀ до t₂ + t₀.

Спектральная плотность сигнала s₂(t) в соответствии с (1.48)

Вводя новую переменную интегрирования = t - t₀, получаем

Из этого соотношения видно, что сдвиг во времени функции s(t) на ±t₀ приводит к изменению фазовой характеристики спектра S ( ) на вели­чину ± t₀. Очевидно и обратное положение: если всем составляющим спек­тра функции s (t) дать фазовый сдвиг 0 ( ) = ± t₀ линейно-связанный с частотой , то функция сдвигается во времени на ±t₀.

Амплитудно-частотная характеристика спектра (т. е, модуль спектраль­ной плотности) от положения сигнала на оси времени не зависит.