2. Изменение масштаба времени

Пусть сигнал s₁ (t), изображенный на рис. 1.6 сплошной линией, под­вергся сжатию во времени. Новый сжатый сигнал s₂ (t) (штриховая кривая на рис. 1.6) связан с исходным соотношением , n>1

Рис. 1.6. Сжатие сигнала при сохранении его амплитуды

Длительность импульса s₂ (t) в n раз меньше, чем исходного, и равна _и/п. Спектральная плот­ность сжатого импульса

Вводя новую переменную интегрирования = nt, получаем

Но интеграл в правой части этого выражения есть не что иное, как спектральная плотность исходного сигнала s₁(t) при частоте /п, т. е. S₁ ( /п).

Таким образом, .

Итак, при сжатии сигнала в п раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в п раз. Очевидно, что при растягивании сигнала во времени (т. е. при n<1) имеют место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.

3) Смещение спектра сигнала

Применим (1.48) к произведению s(t) cos ( ₀t + )

Первый интеграл в правой части есть не что иное, как спектральная плотность функции s(t) при частоте — ₀, а второй интеграл — при ча­стоте + ₀. Поэтому полученное выше соотношение можно записать в форме

, (1.58)

где S( ) — спектральная плотность сигнала s(t).

Из выражения (1.58) вытекает, что расщепление спектра S( ) на две части, смещенные соответственно на + ₀ и — ₀, эквивалентно умножению функции s (t) на гармоническое колебание cos ₀t (при = 0).

4. Дифференцирование и интегрирование сигнала

Дифференцирование сигнала (t) можно трактовать как почленное диф­ференцирование всех гармонических составляющих, входящих в его спектр. Но производная функции равна , из чего непосредственно вы­текают следующие соответствия:

, . (1.59)

К этому результату можно прийти также из общего преобразования Фурье

Первое слагаемое в правой части обращается в нуль, поскольку при (условие интегрируемости сигнала).

Аналогичным образом можно показать, что сигналу

соответствует спектральная плотность

. (2.60)

Следует, однако, подчеркнуть, что в отличие от операции i S₁ ( ) операция (1/i ) S₂ ( ) законна только для сигналов, отвечающих условии S(0) = 0, т. е. для сигналов с нулевой площадью

.

4. Сложение сигналов

_{Так как преобразование Фурье, определяющее спектральную плотность заданной функции времени, является линейным, очевидно, что при сло}­жении сигналов обладающих спектрами суммарному сигналу соответствует .спектр

4. Произведение двух сигналов

Пусть рассматриваемый сигнал s (t) является произведением двух функ­ций времени f(t) и g(t).

Используя общую формулу (2.48), определяем спектр сигнала s (t)

. (1.61)

Каждую функцию f (t) и g(t) можно представить в виде интеграла Фурье.

Подставляя в (1.61) второй из этих интегралов, получаем

.

Заключенный в квадратные скобки интеграл по переменной t представ­ляет собой спектральную плотность функции f(t) при частоте — х, т. е. F ( — x). Следовательно,

. (1.62)

Итак, спектр произведения двух функций времени f(t) и g(t) равен, (с коэффициентом 1/2π) свертке их спектров F( ) и G( ).

Из выражений (1.61) и (1.62) в частном случае ­­- 0 вытекает следую­щее равенство:

Заменяя в последнем выражении x на , получаем

(1.63)

где F* ( ) = F (— ) — спектральная функция, комплексно-сопряженная функция F ( ).

Аналогично можно показать, что произведению двух спектров F( ) х G( ) = S( ) соответствует функция времени s(t), являющаяся сверт­кой функций f(t) и g(t):

. (1.64)

Последнее выражение особенно широко используется при анализе пе­редачи сигналов через линейные цепи. В этом случае функции времени f(t) и g(t) имеют смысл соответственно входного сигнала и импульсной ха­рактеристики цепи , a F( ) и G( ) — спектральной плотности сигнала и передаточной функции цепи.

64. Модуляция носителей информации. Типы носителей информации.