- •Оглавление
- •12. Вопросы для самопроверки, задачи для самостоятельной и
- •Предисловие
- •1. Введение
- •1.1. Задачи и методы сопротивления материалов
- •1.2. Реальный объект и расчетная схема
- •1.3. Внешние и внутренние силы. Метод сечений
- •Простейшие случаи сопротивления
- •1.4. Напряжения
- •1.5. Перемещения и деформации
- •1.6. Закон Гука и принцип независимости действия сил
- •2. Растяжение и сжатие
- •2.1. Внутренние силы и напряжения
- •2.2. Удлинение стержня и закон Гука
- •2.3. Пример расчета (задача № 1)
- •2.4. Потенциальная энергия деформации
- •2.5. Статически определимые и статически неопределимые системы
- •Напряженное и деформированное состояние при растяжении и сжатии
- •Основные механические характеристики материалов
- •2.8. Общие принципы расчета конструкции
- •Пример расчета (задача № 2)
- •3. Геометрические характеристики поперечных сечений бруса
- •Статические моменты сечения
- •3.2. Моменты инерции сечения
- •3.3. Главные оси и главные моменты инерции
- •3.4. Пример расчета (задача № 3)
- •4. Кручение
- •4.1. Кручение бруса с круглым поперечным сечением
- •4.2. Кручение бруса с некруглым поперечным сечением
- •4.3. Пример расчета (задача № 4)
- •3.2. Моменты инерции сечения
- •3.3. Главные оси и главные моменты инерции
- •3.4. Пример расчета (задача № 3)
- •5.4.3. Схема III. Плоская рама (задача № 8)
- •5.5. Касательные напряжения при поперечном изгибе. Главные напряжения при изгибе
- •5.6. Пример расчета (задача № 9)
- •5.7. Перемещения при изгибе. Метод начальных параметров
- •5.8. Пример расчета (задача № 10)
- •5.9. Косой изгиб
- •5.10. Пример расчета (задача № 11)
- •5.11. Внецентренное растяжение и сжатие
- •5.12. Пример расчета (задача № 12)
- •5.13. Теории прочности
- •5.14. Пример расчета (задача № 13)
- •5.10. Пример расчета (задача № 11)
- •5.11. Внецентренное растяжение и сжатие
- •5.12. Пример расчета (задача № 12)
- •5.13. Теории прочности
- •5.14. Пример расчета (задача № 13)
- •6. Расчет статически неопределимых систем методом сил
- •6.1. Стержневые системы. Степень статической неопределимости
- •6.2. Определение перемещений методом Мора
- •6.3. Метод сил
- •6.4. Пример расчета (задача № 14)
- •7. Устойчивость прямых стержней
- •7.1. Понятие об устойчивости. Задача Эйлера
Напряженное и деформированное состояние при растяжении и сжатии
Рассмотрим более подробно особенности напряженного состояния, возникающего в однородном растянутом стержне. Определим напряжения, возникающие на некоторой наклонной площадке, составляющей угол с плоскостью нормального сечения (рис. 2.6, а).
Рис. 2.6
Из условия z = 0, записанного для отсеченной части стержня (рис. 2.6, б), получим:
р F = F, (2.17)
где F площадь поперечного сечения стержня, F = F/cos площадь наклонного сечения. Из (2.17) легко установить:
р = сos . (2.18)
Раскладывая напряжение р по нормали и касательной к наклонной площадке (рис. 2.6, в), с учетом (2.18) получим:
=p cos = cos2 ;=p sin = sin 2 .(2.19)
Полученные выражения показывают, что для одной и той же точки тела величины напряжений, возникающих в сечениях, проходящих через эту точку, зависят от ориентации этой площадки, т.е. от угла . При = 0 из (2.19) следует, что = , = 0. При = , т.е. на продольных площадках, = = 0. Это означает, что продольные слои растянутого стержня не взаимодействуют друг с другом. Касательные напряжения принимают наибольшие значения при = , и их величина составляетmax=. Важно отметить, как это следует из (2.19), что. Следовательно, в любой точке тела на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны между собой по абсолютной величине. Это условие является общей закономерностью любого напряженного состояния и носит названиезакона парности касательных напряжений.
Теперь перейдем к анализу деформаций в растянутом стержне. Наблюдения показывают, что его удлинение в продольном направлении сопровождается пропорциональным уменьшением поперечных размеров стержня (рис. 2.7).
Рис. 2.7
Если обозначить:
прод = ;попер = , = ,
то, как показывают эксперименты, = const для данного материала и является безразмерным коэффициентом Пуассона. Величина является важной характеристикой материала и определяется экспериментально. Для реальных материалов принимает значения 0,1 0,45.
При растяжении стержня возникают не только линейные, но и угловые деформации.
Рассмотрим прямой угол АВС (рис. 2.8, а), образованный отрезками АВ и АС, в недеформированном состоянии.
Рис. 2.8
При растяжении стержня точки А, В и С займут положение А , B , C соответственно. Величина
= ВАС А B C
называется угловой деформацией или угловым сдвигом в точке А.
Совместим точки А и А и рассмотрим взаимное расположение отрезков АВ и А B (рис. 2.8, б). На этом рисунке отметим вспомогательные точки K и L и прямую n, перпендикулярную отрезку А B . Из рис. 2.8, б имеем:
прод = ;попер = ,
откуда с учетом прод = получим:
. (2.20)
Для определения спроектируем ломаную ВLB А на ось n Ssin = BL cos ( + ) + LB sin( + ), откуда, учитывая малость угла , т.е. sin , cos 1, получим:
= . (2.21)
В результате совместного рассмотрения (2.20) и (2.21) получим:
= .
Откуда
.
Следовательно,
. (2.22)
Сопоставляя выражение с выражением из (2.17) окончательно получим закон Гука для сдвига:
(2.23)
где величина называется модулем сдвига или модулем упругости материала второго рода.