- •Оглавление
- •12. Вопросы для самопроверки, задачи для самостоятельной и
- •Предисловие
- •1. Введение
- •1.1. Задачи и методы сопротивления материалов
- •1.2. Реальный объект и расчетная схема
- •1.3. Внешние и внутренние силы. Метод сечений
- •Простейшие случаи сопротивления
- •1.4. Напряжения
- •1.5. Перемещения и деформации
- •1.6. Закон Гука и принцип независимости действия сил
- •2. Растяжение и сжатие
- •2.1. Внутренние силы и напряжения
- •2.2. Удлинение стержня и закон Гука
- •2.3. Пример расчета (задача № 1)
- •2.4. Потенциальная энергия деформации
- •2.5. Статически определимые и статически неопределимые системы
- •Напряженное и деформированное состояние при растяжении и сжатии
- •Основные механические характеристики материалов
- •2.8. Общие принципы расчета конструкции
- •Пример расчета (задача № 2)
- •3. Геометрические характеристики поперечных сечений бруса
- •Статические моменты сечения
- •3.2. Моменты инерции сечения
- •3.3. Главные оси и главные моменты инерции
- •3.4. Пример расчета (задача № 3)
- •4. Кручение
- •4.1. Кручение бруса с круглым поперечным сечением
- •4.2. Кручение бруса с некруглым поперечным сечением
- •4.3. Пример расчета (задача № 4)
- •3.2. Моменты инерции сечения
- •3.3. Главные оси и главные моменты инерции
- •3.4. Пример расчета (задача № 3)
- •5.4.3. Схема III. Плоская рама (задача № 8)
- •5.5. Касательные напряжения при поперечном изгибе. Главные напряжения при изгибе
- •5.6. Пример расчета (задача № 9)
- •5.7. Перемещения при изгибе. Метод начальных параметров
- •5.8. Пример расчета (задача № 10)
- •5.9. Косой изгиб
- •5.10. Пример расчета (задача № 11)
- •5.11. Внецентренное растяжение и сжатие
- •5.12. Пример расчета (задача № 12)
- •5.13. Теории прочности
- •5.14. Пример расчета (задача № 13)
- •5.10. Пример расчета (задача № 11)
- •5.11. Внецентренное растяжение и сжатие
- •5.12. Пример расчета (задача № 12)
- •5.13. Теории прочности
- •5.14. Пример расчета (задача № 13)
- •6. Расчет статически неопределимых систем методом сил
- •6.1. Стержневые системы. Степень статической неопределимости
- •6.2. Определение перемещений методом Мора
- •6.3. Метод сил
- •6.4. Пример расчета (задача № 14)
- •7. Устойчивость прямых стержней
- •7.1. Понятие об устойчивости. Задача Эйлера
3. Геометрические характеристики поперечных сечений бруса
Статические моменты сечения
При решении практических задач возникает необходимость в использовании различных геометрических характеристик поперечных сечений бруса. Настоящий раздел посвящен методам их определения. Рассмотрим некоторое поперечное сечение в системе координат x, y (рис. 3.1) и рассмотрим два следующих интегральных выражения:
(3.1)
где нижний индекс у знака интеграла указывает на то, что интегрирование ведется по всей площади сечения F. Каждый из этих интегралов представляет собой сумму произведений элементарных площадок dF на расстояние до соответствующей оси (x или y). Первый интеграл называется статическим моментом сечения относительно оси x, а второй относительно оси y.
При выполнении практических расчетов важно знать, как меняются статические моменты сечения при параллельном переносе координатных осей (рис 3.2).
Очевидно, что
x = x1 + a; y = y1 + b. (3.2)
Подставляя (3.2) в (3.1) получим:
Рис. 3.1 Рис. 3.2
Величины а и b можно подобрать (причем единственным образом) так, чтобы выполнялись следующие равенства:
bF = Sx ; aF = Sy , (3.4)
тогда статические моменты .
Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Точка С (xC , yC) пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения в системе координат (x, y) и определяется из (3.4):
. (3.5)
Далее предположим, что брус имеет составное сечение (рис. 3.3) с общей площадью F. Обозначим через Fk (k = 1, 2, 3,..., n) площадь kой области, принадлежащей к составному сечению бруса. Тогда выражение (3.1) можно преобразовать в следующем виде:
, (3.6)
где статические моменты kтой области относительно осей x и y. Следовательно, статический момент составного сечения равен сумме статических моментов составляющих областей.
3.2. Моменты инерции сечения
Рис. 3.3
(3.7)
Первые два интегральных выражения называются осевыми моментами инерции относительно осей x и y, а третье центробежным моментом инерции сечения относительно осей x, y.
Для сечений, состоящих из n-числа областей (рис. 3.3), формулы (3.7) по аналогии с (3.6) будут иметь вид:
Рассмотрим, как изменяются моменты инерции сечения при параллельном переносе координатных осей x и y (см. рис. 3.2). Преобразуя формулы (3.7) с учетом выражения (3.2), получим :
(3.8)
Если предположить, что оси x1 и y1 (см. рис. 3.2) являются центральными, тогда и выражения (3.8) упрощаются и принимают вид:
(3.9)
Рис. 3.4
Аналогичным образом можно установить, что .
Для систем, рассматриваемых в полярной системе координат (рис. 3.5, а), вводится также полярный момент инерции:
.
где радиусвектор точки тела в заданной полярной системе координат.
Вычислим полярный момент инерции круга радиуса R. На рис. 3.5, a показана элементарная площадка, очерченная двумя радиусами и двумя концентрическими поверхностями, площадью
dF = d d .
Интегрирование по площади заменим двойным интегрированием:
.
Hайдем зависимость между полярным и осевыми моментами инерции для круга. Из геометрии видно (рис. 3.5, б), что
2 = x2 + y2,
следовательно,
.
Так как оси x и y для круга равнозначны, то Ix = Iy = .
Полярный момент инерции кольца может быть найден как разность моментов инерции двух кругов: наружного (радиусом R) и внутреннего (радиусом r):
.