ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ФИЗИКИ

Лабораторная работа № 6В

Движение заряженных частиц в неоднородном магнитном поле

Методические указания к виртуальному

эксперименту

Ростов-на-Дону

2005

Составители: а.П.Кудря, м.И.Иванов, е.И.Покидина.

УДК 530.1

Движение заряженных частиц в неоднородном магнитном поле. Метод. указания / Издательский центр ДГТУ. Ростов-на-Дону. 2005. 12с

Указания содержат краткое изложение теорий распределения индукции магнитного поля вдоль оси симметрии соленоида и движения в этом поле заряженных частиц. Даны элементарные сведения устройства и принципа действия простейшей магнит-ной ловушки, используемой для удержания высокотемператур-ной плазмы. Приводятся основные этапы подготовки к экспери-менту и последовательность его выполнения.

Методические указания предназначены для организации самостоятельной работы студентов при подготовке и проведении учебного виртуального эксперимента.

Печатается по решению методической комиссии факультета

«Автоматизация и информатика»

Научный редактор: проф., д.т.н. В.С.Кунаков

© Издательский центр ДГТУ, 2005

Движение заряженных частиц в неоднородном магнитном поле

Цель работы. Познакомиться: 1) со структурой магнитного поля соленоида; 2) с характером движения заряженных частиц в магнитном поле соленоида.

Введение

С оленоид. Для получения магнитного поля, регулируемого по величине и по направлению, на практике часто пользуются соленоидом. Соленоид представляет собой однослойную или многослойную обмотку из проволоки, намотанную на жесткий цилиндрический каркас. Для простоты рассмотрим соленоид с однослойной обмоткой, витки которой плотно намотаны в одном направлении. На рис.1 изображен продольный разрез соленоида вертикальной плоскостью, проходящей через его ось. Длина соленоида – l, радиус его витков – R, число витков – N, сила тока, текущего по соленоиду – I.

Определим индук-цию магнитного поля, созданного всеми круговыми токами в точке А, расположен-ной на оси соленоида. Каждый круговой виток с током создает магнитное поле, модуль вектора магнитной индукции которого в искомой точке определяется из закона Био – Савара- Лапласа:

, (1)

где μ₀ = 4π*10^-7 Гн/м – магнитная постоянная, x – расстояние от

- 3 -

плоскости витка до точки А. Направление вектора магнитной индукции определяют правилом правого винта.

Индукция магнитного поля, созданного всеми витками соленоида в точке А, в соответствии с принципом суперпозиции, равна:

, (2)

где - вектор магнитной индукции i – го кругового тока.

Так как направления векторов магнитных индукций, созданных каждым витком соленоида, совпадают, то векторную сумму в уравнении (2) можно заменить скалярной. Выделим в соленоиде малый участок длиной dx (рис.1). В нем содержится Ndx/l витков. Магнитная индукция в точке А от участка dx будет равна:

. (3)

Из рис.1 следует, что

dx = rda/sina = Rda/sin² a, x² = r²-R², а r =R/sinα (4)

Подставляя уравнения (4) в уравнение (3) и интегрируя в пределах от α₁ до от α₂, найдем полную магнитную индукцию поля в точке А:

. (5)

У достаточно длинного соленоида α₂→0 и α₁→180⁰.

В этом случае формула (5) примет вид:

. (6)

Таким образом, внутри достаточно длинного соленоида магнитное поле однородное.

Аналогичное поле получают на оси тороида. Тороид можно рассматривать как свернутый кольцом достаточно длинный соленоид

Увеличить магнитную индукцию на оси соленоида или тороида можно путем заполнения их объема ферромагнитным материалом с магнитной проницаемостью μ (в этом случае

- 4 -

формулы (5) – (6) умножают на μ). Такой принцип лежит в основе изготовления разнообразных катушек индуктивности, дросселей, трансформаторов, которые широко используются в электротех-нике, радиоэлектронной промышленности, в средствах автомати-ки и телемеханики.

Движение заряженных частиц в магнитном поле.

Предположим, что с помощью длинного соленоида создано в вакууме магнитное поле с индукцией В. В область однородного поля влетает заряженная частица со скоростью v, под углом α к линиям магнитной индукции. Со стороны магнитного поля на частицу действует сила Лоренца:

, (8)

где v sin α = v_y – вертикальная составляющая вектора скорости частицы, а q – ее заряд.

Под действием силы Лоренца частица движется с нормальным ускорением a_n=v_y²/R, а 2-й закон Ньютона, описывающий это движение, имеет вид:

, (9)

где m – масса частицы.

Из (9) можно определить радиус окружности, описываемой частицей в магнитном поле:

. (10)

Из связи между линейной и угловой скоростями - v_y=ωR, определим период обращения частицы:

. (11)

За счет горизонтальной составляющей скорости v_x= v cos α частица движется равномерно вдоль линий индукции поля. Нало-жение вращательного движения частицы на ее поступательное движение приводит к движению по винтовой линии. Шаг винто-вой линии равен (рис.2):

. (12)

- 5 -

Рис.2

Ток вращающегося заряда создает магнитное поле, обратное основному, и тем самым ослабляет его. То есть вращающаяся частица представляет собой как бы маленький диамагнитный диполь, магнитный момент которого p_m= iS = qνπR² (ν – частота вращения частицы в поле).

В неоднородном магнитном поле (например, на выходе из соленоида) на такой диамагнитный диполь вдоль координаты ОХ действует сила:

, (13)

где ∂B/∂x – градиент индукции магнитного поля, а α – угол между векторами p_m и ∂B/∂x.

Под действием силы F диамагнитный диполь выталки-вается из области более сильного магнитного поля в область более слабого. Указанный эффект учитывается при проектирова-

- 6 -

нии магнитных ловушек (магнитных бутылок), с помощью кото-рых удерживают высокотемпературную плазму в магнитном поле специальной конфигурации. На рисунке.3 изображена линейная магнитная ловушка, в которой два коротких соленоида (изо-бражены в виде круговых витков) расположены в параллельных плоскостях на определенном расстоянии друг от друга.

Рис.3

При определенных значениях одинаково направленных токов в соленоидах, заряженная частица как бы запирается между «пробками» (магнитными зеркалами) - областями сильного магнитного поля на торцах ловушки (центры соленоидов). На самом деле из уравнений (5) и (7) следует, что при очень больших значениях магнитной индукции в центре соленоида R и h стремятся к нулю. Это возможно при углах между векторами В и v превышающих величину критического, т.е. αα_кр, в противном случае частица просачивается через магнитные зеркала. В пространстве между магнитными зеркалами траектория частицы представляет собой спираль переменного шага и радиуса. Так как магнитная индукция посредине ловушки наименьшая, то согласно уравнениям (5) – (7) величины радиуса, шага спирали и период обращения частицы в этом месте наибольшие. Ориентация векторов скорости частицы v, магнитной индукции В, силы Лоренца F_л и ее проекция F на ОХ в различных точках траектории показаны на рисунке 3.

- 7 -

Разновидности магнитных «ловушек» и их различные комбинации широко используются в экспериментальных уста-новках типа «Токомак», создаваемых для изучения управляемых термоядерных реакций.

Магнитной ловушкой в природных условиях является магнитное поле Земли, которое является защитой для всего живо-го от потоков заряженных частиц высоких энергий из космичес-кого пространства. Заряженные частицы «захватываются» маг-нитным полем Земли и образуют так называемые радиационные пояса, в которых частицы, как в магнитных ловушках, переме-щаются туда и обратно по спиралеобразным траекториям между северным и южным магнитными полюсами. Лишь в полярных областях некоторая часть частиц вторгается в верхние слои атмосферы, вызывая полярные сияния. Радиационные пояса Земли простираются от расстояний порядка 500 км до десятков земных радиусов.