Основы проектирования машин / ГЛАВА 1

ГЛАВА 1.3. НАДЕЖНОСТЬ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Надежность и ее оценка. Под надежностью, как уже упоминалось во введении, понимают свойство объекта сохранять свои выходные характеристики в установленных пределах в течение заданного промежутка времени. Изучением количественных соотношений при расчете надежности занимается теория надежности.

Основой этой теории является эксперимент.

Рассмотрим, к примеру, результат испытаний на прочность образцов, работающих в условиях переменного нагружения. Очевидно, время работы до разрушения для каждого из образцов различно, и его можно

рассматривать как случайное событие. Время работы до отказа называется наработкой до отказа. Пусть T -

случайная величина, обозначающая время наработки до отказа. Если за выделенный промежуток времени ∆t

разрушилось ni образцов из общего количества N , то, согласно (1.1.1), вероятность разрушения за выделенный

Вероятность отказа в течение промежутка времени от t0 до t , как следует из (1.1.2), определяется площадью под кривой плотности (рис. 1.1.2):

Вероятность отказа в данный промежуток времени (t1,t2 )с помощью (1.3.1), (1.3.2) и (1.3.3) можно выразить либо через функцию распределения F(t):

Частота появления отказа h(t1,t2 ) в некотором промежутке времени(t1,t2 )называется интенсивностью отказов в указанном интервале. Интенсивность отказов вычисляется по формуле

что при дальнейшем интегрировании позволяет получить фундаментальную зависимость теории надежности:

В статистическом плане под интенсивностью отказа понимают отношение числа отказов ni за малый промежуток времени к числу работоспособных объектов N0 :

h(t) = ni ∆tN0 .

Рис. 1.3.2

График интенсивности отказов как функции времени имеет характерный вид (рис. 1.3.2). Эта кривая

условно может быть разделена на три участка. Начальному периоду времени (интервал I, от t0 до t1 ) свойственно наличие ранних отказов из-за производственных дефектов и дефектов внутренней структуры

материалов. Участок II (промежуток от t1 до t2 ) описывает режим нормальной эксплуатации. Равновероятный отказ на этом участке может быть вызван, например, недопустимым условием нагружения. На третьем участке, от

t2 до t , интенсивность отказов возрастает за счет разрушений, вызванных усталостью, износом, старением и т. д.

Статистические законы надежности. Статистической характеристикой работы изделия до

разрушения может служить введенная выше функция распределения наработки до отказа . Для нахождения функции распределения, адекватно описывающей рассматриваемое явление, обычно проводят ряд наблюдений за

поведением объекта в процессе его эксплуатации и обобщают полученную информацию об отказах методами математической статистики. С теоретической точки зрения функций, которые соответствуют результатам наблюдений, может быть бесчисленное множество. Однако накопленный практический материал выделяет из них ряд наиболее значимых с точки зрения их распространенности в теории надежности. К их числу относятся показательное (экспоненциальное) распределение, нормальное и распределение Вейбулла.

При показательном распределении (график плотности отказов такого распределения приведен на рис. 1.1.5) функция плотности имеет вид (1.1.16), так что в соответствии с (1.3.3) вероятность безотказной работы определяется как

Формулу (1.3.10) можно интерпретировать следующим образом: если рассматриваемый объект проработал без отказа в течение некоторого промежутка времени t0 , то вероятность безотказной работы в последующее

время (при t > t0 ) задается выражением

R(t) = exp{−(t0 −t)/θ}, t ≥ 0 .

Очевидно, что интенсивность отказов при этом постоянна и с учетом (1.3.8) и (1.3.10) равна

Из (1.3.11) следует, что экспоненциальный закон надежности справедлив для описания надёжности машин и механизмов в том случае, если интенсивность их отказов постоянна, т. е. в режиме нормальной эксплуатации (участок II рис. 1.3.2). Для постепенных отказов (т. е. связанных с износом в широком смысле слова - участок III кривой 1.3.2) требуются такие законы распределения времени безотказной работы, в соответствие с которыми плотность вероятности вначале небольшая, затем резко возрастает и далее спадает до нуля из-за уменьшения числа работоспособных элементов. Такими законами являются, например, нормальное распределение и распределение Вейбулла, рассмотренные в главе 1.1 .

Нормальное распределение наиболее широко применяется на практике, поскольку оно в значительной степени универсально. Дело в том, что, как уже упоминалось ранее, любая случайная величина подчиняется

нормальному закону распределения, если на ее изменение оказывают влияние многие приблизительно равнозначные факторы, причем чем таких факторов больше, тем точнее нормальное распределение приближается к реальному поведению случайной величины.

При нормальном распределении вероятность попадания случайной величины в промежуток (t1 , t2 ) рассчитывается по формуле (1.1.23),

Статистические модели надежности. Так как любая механическая система состоит из комбинации собранных в единое целое объектов, то надежность этой совокупности оказывается отличной от надежности

составляющих ее элементов. Если сложная механическая система моделируется цепочкой из n последовательно

расположенных элементов (рис.1.3.3), то вероятность безотказной работы Rr (t) системы в целом равна, по теореме умножения вероятностей, произведению

Рис. 1.3.3

где Ri (t) - вероятность безотказной работы текущего i - го элемента из цепочки. Это означает, что при низкой надежности составляющих надежность сложной системы крайне низка.

Рис. 1.3.4

Для системы из параллельно установленных элементов (рис. 1.3.4) характерно то, что выход ее из строя возможен только при условии выхода из строя всех составляющих ее элементов. Вероятность отказа такой

системы равна произведению вероятностей отказа составляющих ее элементов:

n

Pr = ∏Pi

а вероятность безотказной работы вычисляется по формуле

n

Rr =1 −∏(1 − Ri )

Рис. 1.3.5

Если система состоит из совокупности последовательно и параллельно соединенных элементов (1.3.5), вероятность безотказной работы также определяется по сформулированным выше правилам. При этом участки только последовательно и только параллельно соединенных элементов объединяются в более крупные структуры, для каждой из которых рассчитывают вероятность безотказной работы по формулам (1.3.15) и (1.3.16) соответственно. Поэтапное укрупнение структур позволяет, в конечном итоге, получить значение вероятности безотказной работы системы в целом.

Расчет запаса прочности с учетом параметров надежности. Определение величин допустимых напряжений при расчетах на статическую прочность и особенно выносливость всегда сопряжено с необходимостью статистической обработки в связи с рассеянием. Это объясняется тем, что структура испытуемого материала неоднородна и имеет многочисленные дефекты кристаллической решетки, механообработки и т. д. Расчет

прочности при этом ведется по предельному напряжению σlim , которое представляет собой среднее значение напряжения σlim , полученное в результате лабораторных испытаний. Величину рассеяния будем

характеризовать средним квадратичным отклонением σˆlim . Предположим, что наибольшее из действующих напряжение σ имеет рассеяние) , подчиненное закону нормального распределения (1.3.13), с величиной среднего

квадратичного отклонения σ . Рассеяние напряжений для различных однотипных деталей может быть вызвано погрешностями формы, чистоты обработки поверхности, неоднородностью механических свойств материала и т. д.

Тогда выражение для функции плотности вероятности предельных напряжений согласно (1.1.19) имеет вид

Очевидно, что разрушение наступает в том случае, когда предельное напряжение окажется либо меньше фактического, либо равным ему, т. е. если разность σdif этих напряжений будет меньше нуля:

σdif = σlim −σ ≤ 0 . Поскольку разность двух случайных величин, каждая из которых описывается законом нормального распределения, представляет собой новую случайную нормально распределенную случайную

величину с математическим ожиданием σdim и средним квадратичным отклонением σˆdim , то согласно (1.1.14)

и (1.1.14) имеем