3. Статична модель

У цьому розділі розглядається так називана статична модель, в якій рішення щодо запасів приймається усього тільки один раз з урахуванням прогнозованих рівнів попиту, представлених значеннями деякої випадкової перемінної. Ця модель цікава по двох причинах. По-перше, такого типу моделі в ряді випадків дійсно адекватно описують реальні ситуації. По-друге, оптимізаційна процедура в цьому випадку є свого роду прологом до дослідження розглянутих нижче динамічних моделей.

Уявимо собі, що велике столичне видавництво, що випускає газету, намагається визначити, яку кількість газет необхідно доставляти в кожний з газетних кіосків. Непродані газети повертаються у видавництво. При існуючій системі розподілу вартість нереалізованих газет досягає 1 млн. дол. на рік. Більш раціональний спосіб розподілу тиражу газет по кіосках може забезпечити значне зниження економічного збитку.

Незважаючи на те що щодня прийняті рішення щодо числа газет, що підлягають доставці в кожний з кіосків, по своїй природі рекурентні (тобто рішення підлягають щоденному перегляду), організаційна, задача у цілому може бути вирішена в рамках статичної моделі. Оскільки газета, що випускається в той або інший день, не представляє ніякого інтересу наступного дня, принцип визначення числа газет, що направляються в пункти їхнього продажу, необхідно виробити „раз і назавжди”. Щоденний попит на газети можна вважати випадковим (недетермінованим), тобто лише частково передбачуваним, і залежним від того, в який день тижня виходить газета і наскільки вона насичена цікавим (або важливим) матеріалом. Крім того, у різні дні тижня виявляються неоднаковими питомі витрати на випуск одного екземпляра газети; наприклад, друк кожного екземпляра газети найбільш об’ємного недільного випуску обходиться видавництву дорожче, ніж друк одного екземпляра тієї ж газети в якийсь інший день тижня.

Форма представлення стратегії поповнення запасів. Введемо насамперед наступні позначення:

i – рівень запасів перед ухваленням рішення про оформлення замовлення на додаткове постачання;

х – обсяг товару, що замовляється, (х ≥ 0);

у = i + х – сумарний обсяг наявних у наявності запасів, який можна використовувати для задоволення майбутнього попиту;

q – фактичний рівень попиту (q – випадкова перемінна, задовольняюча умові q ≥ 0);

р (q) – імовірність того, що рівень попиту дорівнює q.

Допустимо для зручності, що i, х, у та q приймають цілочисельні значення. Оптимальні значення перемінних х та у, як правило, залежать від вихідного (первісного) рівня запасів i; тому в символічному представленні (тобто в математичному записі) оптимальної стратегії будуть фігурувати функції х(i) та у(i).

Найчастіше у зв’язку з управлінням запасами керівниками використовується наступний простий вид правила поповнення запасів:

у(i) = i, х(i) = 0 при i ≥ s (замовлення на постачання не оформляти),

у(i) = S, х(i) = S – i при i < s (оформляти замовлення на постачання). (1)

Згідно з (1), замовлення на постачання не оформляється, якщо початковий обсяг запасів i перевищує або дорівнює s; якщо ж i < s, то оформляється замовлення з метою поповнення запасів до сумарного обсягу S, що йде на задоволення майбутнього попиту покупців. Правило (1) називають (s, S)-стратегією; тут s – критичний рівень запасів (точка замовлення), a S – рівень запасів, що досягається в результаті поповнення (тобто після реалізації замовлення на додаткове постачання товарів).

Випадок лінійних функцій витрат на зміст запасів і втрати в штрафних ситуаціях. Припустимо, що очікувані витрати за весь плановий період дорівнюють сумі покупної вартості продукції, математичного чекання витрат на зміст продукції на складі й економічних утратах, що виникають у штрафних ситуаціях. Для визначеності будемо вважати, що витрати, зв'язані з придбанням х виробів, виражаються формулою

(2)

де ненегативна величина К являє собою накладні витрати, а с є вартістю одного виробу, що придбавається у фірми-постачальника (при цьому природно с ≥ 0).

Допустимо, що очікувані витрати на зміст запасів і очікуване значення економічних втрат у штрафних ситуаціях протягом усього планового періоду залежать лише від у=i+х, тобто від сумарного обсягу продукції, що є в наявності і, отже, доступний покупцям. Позначимо функцію очікуваних витрат через L(у) і припустимо, зокрема, що L(у) визначається наступною формулою:

(3)

де ненегативна величина h є витрати на утримання одного виробу, що залишається на складі до кінця планового періоду, а величина – штрафні втрати у розрахунку на один виріб, відсутній на складі наприкінці даного періоду.

Отже, у виразі (3) перша сума являє собою очікувані витрати на утримання запасів, а друга сума – очікувані штрафні втрати. Прийняті також цілком розумні припущення про те, що з с + h > 0 та > с (звідки походить, що h + > 0).

У випадку, якщо кожний непроданий наприкінці планового періоду виріб (тобто надлишкові запаси) вдається реалізувати за деякою ціною v (задовольняючій умові 0 < v ≤ с), то з вартості утримання виробу відповідного виду величину v необхідно відняти. Таким чином, у співвідношенні (3) під h у дійсності варто мати на увазі переобліковану (чисту) вартість утримання одиниці складованих виробів (h = h' – v), що може приймати й негативні значення. Точно так же, якщо мова йде про вироби, складовані для наступного збуту, й виникає ситуація, коли обсяг замовлень, що перевищує наявні запаси, повністю губиться, величина містить у собі ту ціну r, по якій даний товар можна було б продати ( = ' + r).

Неважко переконатися, що в даному окремому випадку (s, s)-правило визначає оптимальну форму представлення стратегії поповнення запасів. Покажемо тепер, яким чином знаходяться оптимальні значення s та S. Покладемо

(6)

і назвемо відношення (6) критичним відношенням. Помітимо, що R задовольняє умові 0 < R < 1, тому що ми припустили, що > с та + h > 0. При цих умовах можна довести, що значення ненегативної величини S дорівнює найменшому з цілих чисел, для якого

(7)

Оскільки Р(S) є не що інше, як статистична (кумулятивна) функція розподілу при q = S, оптимальним є таке значення S, для якого сумарний попит цілком задовольняється, принаймні з імовірністю R.

З формули (6) походить, що

1) R зростає зі збільшенням значення , так що S є неубутною функцією штрафних втрат;

2) R убуває як зі зростанням значення h, так і зі зростанням значення c, так що S є незростаюча функція h та с;

3) якщо то R ≥ 1/2, а значення S лежить принаймні не нижче рівня медіани розподілу імовірностей для обсягів попиту.

Підводячи підсумки, можна затверджувати, що для перебування оптимального значення S спочатку обчислюється по формулі (6) значення R, а потім використовується статистична функція розподілу Р(у). Помітимо, що для визначення S немає ніякої необхідності обчислювати значення L(у).

Припустимо, що накладні витрати K (тобто витрати, пов’язані з процедурою оформлення замовлення, відвантаженням і транспортуванням) дорівнюють 0. Тоді, як буде показано нижче, оптимальним є варіант, коли s = S. Це означає, що при будь-якому початковому обсязі запасів i, меншому, ніж S, оформляється замовлення на додаткове постачання в обсязі х = S – i. Якщо ж i > S, поповнення запасів не потрібно.

Розглянемо трохи більш складний випадок, коли К > 0. При цій умові оптимальне значення критичного рівня запасів s повинно підкорятися жорсткій умові s < S. Це пояснюється тим, що, якщо накладні витрати К порівняно великі, а початковий обсяг запасів i (≤S) досить близький за своїм значенням до S, то додаткові накладні витрати та витрати на придбання замовлених виробів не завжди вдається компенсувати зниженням питомої вартості утримання запасів і штрафних втрат. Для простоти будемо припускати, що оптимальне значення s ≥ 0.

Відповідно до (s, s)-правила за умови, що початковий обсяг запасів дорівнює s, замовлення на додаткове постачання товарів не оформляється. Отже, сума очікуваних витрат на зміст запасів і очікуваних штрафних утрат при у = s, тобто L(s), не повинна перевищувати суму накладних витрат, очікуваних витрат на утримання запасів і очікуваних штрафних втрат при у = S [тобто величину К + с(S – s) + L (S)]. При обов’язковому ж замовленні у випадку, коли i < s, всі економічні розуміння для ситуації, що характеризується умовою у = s – 1, носять зовсім інший характер.

Підводячи підсумки, можна стверджувати, що в якості s вибирається найменше з чисел, що задовольняють умові

L (s) ≤ К + с (S – s) + L (S). (11)

Отже, при К > 0 критичний обсяг запасів s обчислюється у такий спосіб: спочатку знаходиться чисельне значення L(у), а потім отриманий результат порівнюється з чисельними значеннями суми К + с (S – s) + L (S) для убутного ряду спробних значень у (починаючи з у=S); обчислювальна процедура закінчується, як тільки знаходиться у = s, що є найменшим зі спробних значень, для якого виконується умова (11).

Тут був продемонстрований спосіб знаходження оптимальної (s, S)-стратегії для досить важливого часткового випадку, коли функція витрат на утримання запасів і функція штрафних втрат є лінійними.

Загальний опис моделі. Як і раніше будемо використовувати приведені вище визначення величин i, x, у, q та р(q). Крім того, введемо наступне позначення:

– очікувані середні витрати у випадку, коли обсяг наявних запасів для задоволення потреб клієнтури після реалізації замовлення на поповнення стає рівним у за умови, що початковий обсяг запасів дорівнював i.

У більшості випадків практичного застосування статичних моделей задача вирішується при початковій умові i = 0. Однак бувають і виключення. У дійсності можна навіть допустити можливість такої ситуації, коли i < 0; ця умова означає, що має місце дозволена затримка в задоволенні попиту, що є незадоволеним у попередні періоди. Таким чином, величину i можна інтерпретувати як дійсну (переобліковану) оцінку стану запасів до ухвалення рішення щодо придбання товарів у фірми-постачальника.

Помітимо, що у визначенні функції очікуваних витрат фігурує не х, а у. Оскільки х = у – i, правомірним є використання в якості одного з аргументів функції g як перемінної х, так і перемінної у; однак другий варіант із математичної точки зору представляється більш зручним. Підкреслимо ще раз, що є математичним чеканням витрат. При конкретних значеннях у та і фактичні витрати протягом планового періоду варто розглядати як величину стохастичного характеру, оскільки обсяг попиту q передбачається випадковим.

Знаючи належне оптимальне значення у (i), оптимальний обсяг замовлення знаходиться за допомогою співвідношення

x (i) ≡ y (i) – i. (15)

У більшості випадків значення функції обчислити неважко. По мірі збільшення у найчастіше необмежено зростає.

Оптимальна (s, s)-стратегія. Насамперед необхідно згадати визначення опуклої функції, приведене раніше. Функція L (у), де у приймає цілочисельні значення, називається опуклою, якщо для будь-якого значення у:

(16)

Припустимо, що функція очікуваних витрат являє собою суму витрат, пов’язаних з реалізацією замовлення на постачання, і величини, що включає до себе очікувані витрати на утримання запасів та очікувані штрафні втрати, тобто

(17)

Нехай витрати, зв'язані з реалізацією замовлення , складаються з накладних витрат К ≥ 0 і покупної вартості замовленої партії виробів (при ціні одного виробу с ≥ 0):

(18)

Допустимо, що су + L(у) при необмежено зростає, і припустимо, що функція L (у) є опуклою. Будемо вважати, що витрати на утримання є зростаючою функцією h (у – q), де (у – q) – надлишок запасів (що виникає за умови q ≤ у). Припустимо формально, що

і будемо вважати зростаючою функцією в області, де . Аналогічно припустимо, що штрафні втрати описуються зростаючою функцією π(q – у), де (q – у) – незадоволений попит (така ситуація, природно, виникає лише при q > у). Знову припустимо формально, що

і будемо вважати зростаючою функцією в області, де . Тоді функція очікуваних витрат на утримання запасів і очікуваних штрафних втрат запишеться в наступному вигляді:

(19)

Можна показати, що якщо сума функцій фактичних витрат на утримання запасів і штрафних втрат h(j) + π(– j) є опуклою функцією при будь-якому цілочисельному значенні j, то і функція очікуваних витрат L(у), обумовлена співвідношенням (29), є опуклою.

Легко довести наступну теорему.

Оптимальність (s, S) – стратегії для статичної моделі. Якщо функції витрат визначаються співвідношеннями (17) та (18) і функція L(у) опукла, то оптимальна стратегія має форму (s, S)-правил, представлених співвідношеннями (1). Крім того, чисельне значення S не залежить від обсягу накладних витрат К [див. (28)], а якщо К = 0, то критичний рівень s = S.

Коли форма представлення оптимальної стратегії відома, обчислювальна процедура, що випливає з відповідного правила поповнення запасів, значно спрощується, оскільки при цьому потрібно лише визначити значення s та s. Ми вже переконалися в тому, наскільки простими виявляються обчислення у випадку, коли функція витрат на утримання запасів і функція штрафних втрат є лінійними.