3.2.3.Полная механическая энергия. Закон сохранения энергии

Полная механическая энергия - это сумма кинетической и потенциальной энергий W = W_k + W_p.

Для системы, в которой действуют только консервативные силы (консервативная система), полная механическая энергия системы сохраняется постоянной, т.е. не изменяется во времени (закон сохранения энергии) dW/dt=0 или W = W_k + W_p = const.

В консервативных системах могут происходить лишь превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно в эквивалентных количествах так, что полная энергия остается неизменной.

Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени : физические законы инвариантны относительно выбора начала отсчета времени.

Кроме консервативных систем существуют также диссипативные системы, в которых механическая работа постепенно уменьшается за счет преобразования в другие формы энергии. Этот процесс называется диссипацией (рассеяния) энергии. В строгом смысле, все системы являются диссипативными.

3.2.4.Графическое представление энергии

Во многих задачах рассматривается одномерное движение тела, потенциальная энергия которого является функцией только одной переменной (например, координаты х), т.е. считается W_p(x). График зависимости потенциальной энергии от аргумента х называется потенциальной кривой. Анализ потенциальных кривых позволяет определить характер движения тела.

В качестве примера рассмотрим зависимость W_p(x) на рис.4. Если полная энергия частицы равна W, то при условии выполнения закона сохранения энергии частица может находиться только там, где W_p £ W, т.е. в областях II и IV. Из области II в область IV частица переходить не может, т.к. ей препятствует потенциальный барьер h . Для того, чтобы частица смогла преодолеть потенциальный барьер, ей необходимо сообщить дополнительную энергию, равную высоте барьера h (или превышающую ее). В области II частица с полной энергией W оказывается “запертой” в потенциальной яме ABC.

W_pD

A C G Рис.4.

W W

B

I II III IV

x

3.2.5.Удар абсолютно упругих и неупругих тел

Классическим примером применения законов сохранения импульса и энергии является удар абсолютно упругих и неупругих тел. Удар - это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время . Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности соприкосновения , называется линией удара. Удар называется центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Абсолютно упругий удар - столкновение двух тел, в результате которого вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию (типичный пример - удар двух биллиардных шаров или двух атомов) . Абсолютно неупругий удар - столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое (типичный пример - удар двух шаров из пластилина).

Пусть имеется два шара с массами m₁ и m₂, скорости которых до удара были V₁ и V₂, а после удара v₁ и v₂.

Для абсолютно упругого центрального удара законы сохранения импульса и энергии имеют вид

m₁V₁ +m₂V₂ = m₁v₁ + m₂v₂, m₁V₁²/2 + m₂V₂²/2 = m₁v₁²/2 + m₂v₂²/2,

откуда получаем v₁=[(m₁ - m₂)V₁ + 2m₂V₂]/(m₁+m₂), v₂=[(m₂ - m₁)V₂ + 2m₁V₁]/(m₁+m₂).

Наиболее типичные случаи:

1.Пусть V₂ = 0 (второй шар до удара неподвижен). Тогда

a)если m₁ = m₂, то после удара остановится первый шар (v₁=0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до удара (v₂ = V₁);

b)если m₁ > m₂, то первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью (v₁ < V₁), а скорость второго шара будет больше, чем скорость первого после удара (v₂ > v₁);

c)если m₁ < m₂, то первый шар отскакивает обратно (изменяется направление его движения), а второй шар движется в ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью (v₂ < V₁);

d)если m₂ >> m₁ (например, столкновение шара со стеной), то v₁ =-V₁, v₂ » 2m₁V₁/m₂ » 0.

2.Пусть m₁ = m₂. Тогда v₁ = V₂ и v₂ = V₁, т.е. шары равной массы обмениваются скоростями.

Для абсолютно неупругого центрального удара двух шаров закон сохранения импульса запишется

m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)v, откуда v = (m₁v₁ + m₂v₂)/ (m₁ + m₂),

где v - скорость движения шаров после столкновения.

Если шары двигались навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладавший большим импульсом. Вследствие деформации происходит “потеря” кинетической энергии, перешедшей в тепловую (или другие виды энергии) - т.е. закон сохранения механической энергии не соблюдается. “Потеря” кинетической энергии D может быть определена как разность кинетических энергий тел до и после удара

D = [m₁V₁²/2 + m₂V₂²/2] - (m₁ + m₂)v²/2,

и подставив в это выражение величину v из предыдущей формулы, получим D = m₁m₂(V₁-V₂)²/2(m₁+m₂). Если V₂=0, то D = m₁m₂V₁²/2(m₁+m₂). Рассмотрим два случая:

а)пусть масса неподвижного тела очень большая (m₂>>m₁), то получим v<<v₁ - т.е. вся кинетическая энергия тела при ударе переходит в другие формы энергии (этот факт используется на практике - например, для получения значительной деформации наковальня должна быть массивнее молотка);

b)пусть m₁>>m₂, то получим v » v₁ - практически вся кинетическая энергия первого тела переходит в кинетическую энергию второго тела (например, при забивании гвоздя масса молотка должна быть больше массы гвоздя, чтобы вся энергия молотка затрачивалась на возможно большее перемещение гвоздя, а не на деформацию стены). Абсолютно неупругий удар - пример “потери” системой механической энергии под действием диссипативных сил.