4.3.Поле тяготения Земли

Если мы имеем дело с гравитационным притяжением тела массы m к Земле (земная гравитация), то на поверхности Земли g = (GM_o/R_о²)r_o,где M_o - масса Земли (М_о = 5.976^.10²⁴ кг), r_o -единичный вектор, направленный от тела к центру Земли (любое тело на поверхности Земли всегда можно рассматривать как материальную точку из-за малости размеров любого тела по сравнению с размерами Земли), которая рассматривается в виде шара радиуса R_o=6.371030^.10⁶м. Подставив значения М_о и R_o в последнюю формулу, получим для модуля вектора g значение g»9.81м/с². Эту величину принято называть ускорением свободного падения. Поскольку Земля не является идеальным шаром (у полюсов R_o=6.356799^.10⁶м, на экваторе R_o=6.378164^.10⁶м), то величина g несколько зависит от широты (она меняется от 9.780 до 9.832 м/с²). Однако, в данном месте Земли ускорение свободного падения одинаково для всех тел (закон Галилея).

На тело с массой m, находящееся на поверхности Земли, действует сила P = mg, которая называется силой тяжести. Если тело массы m находится на высоте h над поверхностью Земли, то P = m(GM_o/(R_o + h)², иными словами, сила тяжести с удалением от поверхности Земли уменьшается.

Часто используется понятие - вес тела - силаJ, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору (или подвес), удерживающую тело от свободного падения. Вес тела проявляется только в том случае, когда на тело кроме силы тяжести P (она сообщает телу ускорение g), действует другая сила (которая сообщает телу ускорение а): J = mg- ma= m(g - a). Очевидно, когда ускорения g и a равны по модулю и направлены в противоположные стороны, то вес тела равен нулю (состояние невесомости). Такая ситуация возникает, в частности, на космических спутниках Земли.

4.4.Космические скорости

Первой космической скоростью v₁ называют такую минимальную скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло двигаться вокруг Земли по круговой орбите (превратиться в искусственный спутник Земли). На спутник, движущийся по круговой орбите радиуса r, действует сила тяготения Земли, сообщая ему нормальное ускорение v₁²/r. Согласно второму закону Ньютона GmM/r² = mv₁²/r и, следовательно, если спутник движется вблизи поверхности Земли (r = R - радиус Земли), имеем v₁ = = 7.9 км/с.

Второй космической скоростью v₂ называют ту наименьшую скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло преодолеть притяжение Земли и превратиться в спутник Солнца. Для преодоления земного притяжения кинетическая энергия тела должна быть равна работе, совершаемой против сил тяготения: mv₂²/2=(GmM/r²)dr = GmM/R, откуда имеем v₂ = = 11.2 км/с.

Третьей космической скоростью v₃ называют скорость, которую необходимо сообщить телу а Земле, чтобы оно покинуло пределы Солнечной системы (v₃ = 16.7 км/с).

4.5.Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции.

Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Системы отсчета, движущиеся относительно инерциальных систем с ускорением, называются неинерциальными. В неинерциальных системах законы Ньютона несправедливы. Однако законы динамики можно использовать и для неинерциальных систем, если, кроме сил F, обусловленных воздействием тел друг на друга, ввести в рассмотрение силы инерции F_ин. Если учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета: произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции). Силы инерции F_инпри этом должны быть такими, чтобы вместе с силами F они сообщили телу ускорение а`, каким оно обладает в неинерциальных системах отсчета, т.е. ma`=F+F_ин и поскольку F= ma (здесь a -ускорение тела в инерциальной системе отсчета), то ma`= ma+F_ин.

Cилы инерции обусловлены ускоренным движением системы отсчета относительно измеряемой системы и поэтому в общем случае нужно учитывать следующие случаи проявления этих сил:

1.Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета F_п=ma_o, здесь а_о - ускорение поступательного движения системы отсчета.

2.Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета F_ц=-mw²R, здесьw=const - угловая скорость системы в виде вращающегося диска радиуса R.

3.Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета F_к= 2m[v`w], где сила F<sub>к</sub> (сила Кориолиса) перпендикулярна векторам скорости тела v` и угловой скорости вращения w системы отсчета в соответствии с правилом правого винта.

В соответствии с этим, получим основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета

ma`=F +F_п +F_ц +F_к.

Существенно, что силы инерции вызываются не взаимодействием тел, а ускоренным движением системы отсчета . Поэтому эти силы не подчиняются третьему закону Ньютона, так как если на какое-либо тело действует сила инерции, то не существует противодействующей силы, приложенной к данному телу. Два основных положения механики, согласно которым ускорение всегда вызывается силой, а сила всегда обусловлена взаимодействием между телами, в системах, движущихся с ускорением, одновременно не выполняются. Таким образом, силы инерции не являются ньютоновскими силами.

Для любого тела, находящегося в неинерциальной системе отсчета, силы инерции являются внешними и, следовательно, здесь нет замкнутых систем - это означает, что в неинерциальных системах отсчета не выполняются законы сохранения импульса, энергии и момента импульса.

Аналогия между силами тяготения и силами инерции лежит в основе принципа эквивалентности гравитационных сил и сил инерции (принцип эквивалентности Эйнштейна): все физические явления в поле тяготения происходят совершенно так же, как в соответствующем поле сил инерции, если напряженности обоих полей в соответствующих точках пространства совпадают. Этот принцип лежит в основе общей теории относительности.