1. Розділ 1. Метрологія

Тема 1.2. Обробка результатів вимірювань, похибки

Лекция 1.2.2. (5)

Ймовірна оцінка похибок вимірювань, невизначеність результатів вимірювань.

Ймовірна оцінка похибок вимірювань

Вимірювання ФВ можуть бути зроблені з різною точністю. Іноді цілком достатньо знання наближеного значення вимірюваної величини, отриманого, наприклад, по показанню приладу невисокої точності. Однак у багатьох наукових дослідженнях при вимірюваннях переслідується мета визначення вимірюваної величини з високою точністю, для чого необхідно дати оцінку похибки результату вимірювання або встановити межі шуканого параметру. Цю оцінку можна одержати на підставі обробки результатів спостережень.

Метою обробки результатів спостережень є встановлення дійсного значення вимірюваної величини, що може бути прийняте замість істинного значення вимірюваної величини, і степені близькості дійсного значення до істинного.

Дійсне значення, як результат обробки окремих спостережень, що містять випадкові похибки, саме по собі неминуче містить випадкову похибку. Тому ступінь близькості дійсного і істинного значення вимірюваної величини потрібно оцінювати з позиції теорії ймовірностей. Такою оцінкою є довірчий інтервал.

Якщо відомий закон розподілення похибок, можна визначити ймовірність появи похибки δ, що не виходить за деякі прийняті межі. Цей інтервал називають довірчим інтервалом, а ймовірність, яка його характеризує – довірчою ймовірністю. У практиці вимірювань застосовують різні значення довірчої ймовірності, наприклад: 0,9; 0,95; 0,98; 0,99; 0,9973 i 0,999. Довірчий інтервал і довірчу ймовірність вибирають залежно від конкретних вимірювань. Так, наприклад, при нормальному законі розподілення випадкових похибок із середнім квадратичним відхиленням σ часто користуються довірчим інтервалом від -3σ до +3σ, для якого довірча ймовірність дорівнює 0,9973. Така довірча ймовірність означає, що в середньому з 370 випадкових похибок тільки одна похибка за абсолютним значенням буде більше 3σ (дійсно, доля випадків, коли похибка буде перевищувати 3σ, дорівнює 1 – 0,9973 = 0,0027, тобто 1:0,0027=370). Оскільки на практиці число окремих вимірювань рідко перевищує кілька десятків, поява навіть однієї випадкової похибки, більшої, ніж 3σ, буде малоймовірною подією. Наявність же двох подібних похибок майже неможлива. Це дозволяє з достатньою підставою стверджувати, що всі можливі випадкові похибки вимірювання, які розподілені за нормальним законом, практично не перевищують за абсолютним значенням 3σ (правило «трьох сигм»).

Довірчий інтервал (ГОСТ 8.011-72) є однією з основних форм вираження точності вимірювань.

Приклад, що ілюструє значення довірчої ймовірності.

Імовірність того, що вистава в театрі відбудеться, становить 95%. Люди, що купили квитки на виставу, зазвичай не замислюються про невелику ймовірність (5%), що спектакль може бути скасований або не відбудеться за

будь-якої причини. З огляду на те, що в цій ситуації ймовірність скасування вистави, що дорівнює 5% (за статистикою, скасовується лише один з двадцяти вистав), є досить маленькою, більшості глядачів навіть не приходить в голову думка про те, щоб зателефонувати в театр і дізнатися - чи відбудеться спектакль . Очевидно, що при відвідуванні театру довірча ймовірність 95% (того, що вистава відбудеться) є досить великою, а довірча ймовірність 5% (того, що спектакль буде скасовано) - є настільки маленькою, що більшість глядачів не враховують (нехтують) можливості скасування вистави .

З іншого боку, ймовірність того, що, коли ви виходите на вулицю, з Вами нічого поганого не станеться (на голову не впаде цегла, ви не провалитеся в люк і т.п.), складає 99,9999%. Тоді ймовірність того, що з вами щось може трапитися, становить 0,0001%, що мізерно мало. Тому нормальна людина, виходячи з дому, не замислюється про те, що з ним щось може трапитися. Але якщо припустити, що і в цьому випадку, як і у випадку з виставою, імовірність благополучного походу на вулицю складе 95%, то багато хто почне сумніватися, а чи варто виходити на вулицю.

Можна сказати, що довірлива ймовірність допущеної похибки залежить від важливості вимірювань (чим більш важливі і відповідальні вимірювання, тим вища ймовірність довірча допущеної похибки повинна бути задана).

Одну з форм подання результату вимірювання цей ГОСТ встановлює в наступному вигляді:

Х; Δ від Δ_н до Δ_в; р, Х; Δ_н≤ Δ ≤ Δ_в; р,

де Х – результат вимірювання (дійсне значення) в одиницях вимірюваної величини;

Δ , Δ_{н +} , Δ_в – відповідно , похибка вимірювання з її нижньою і верхньою межами в тих же одиницях (Δ_н і Δ_в повинні бути зазначені зі своїми знаками). В загальному випадку |Δ_н| може не дорівнювати |Δ_в|. Якщо межі похибки симетричні, тобто

|Δ_н| = |Δ_в| = Δ, то результат вимірювання може бути записаний так: Х± Δ; р);

р – встановлена ймовірність, з якою похибка вимірювання перебуває в цих межах.

ГОСТ 8.011-72 допускає і інші форми подання результату вимірювання, однак кожна з цих форм повинна містити необхідні дані, на підставі яких може бути визначений довірчий інтервал похибки результату вимірювання.

В загальному випадку довірчий інтервал може бути встановлений, якщо відомий вид закону розподілення похибки і основні характеристики цього закону.

Для правильної оцінки результату вимірювання і його похибки необхідно проводити обробку результатів окремих спостережень ряду в наступному порядку.

1. Оцінити і виключити систематичну похибку з кожного окремого результату ряду спостережень, одержавши в такий спосіб виправлений ряд спостережень, що не містить систематичних похибок.

2. Для виправленого ряду спостережень оцінити основні його характеристики (математичне очікування і СКВ. СКВ, в деяких випадках, може бути відомо з попередніх експериментів або з технічної документації на застосовувані ЗВТ).

3. Знайти результат вимірювання (дійсне значення вимірювальної величини) і оцінку СКВ похибки результату вимірювання.

4. Визначити вид закону розподілення оцінки похибки результату вимірювання і знайти довірчий інтервал для цієї похибки.

Розглянемо порядок обробки результатів спостережень при прямих вимірюваннях.

а) Припустимо, що при багаторазовому вимірюванні величини, що цікавить нас, одержали n окремих результатів спостережень. Виключивши систематичну похибку з кожного ряду спостереження, одержуємо виправлений ряд значень Х₁, Х₂, … Х_n , математичним очікуванням якого є істинне значення вимірюваної величини Х_іст. За дійсне значення вимірюваної величини приймаємо середнє арифметичне , з якого воно отримано: _n

m_x = (1/n) ∑ Х_i

^{i =1}

б) Обчислюються випадкові відхилення результатів спостережень та їх квадрати:

Δ_і = Х_i - m_x; Δ_і² = (Х_i - m_x )²

в) Визначається середнє квадратичне відхилення результатів спостережень:

_n

σ_х = √ (∑ Δ_i² ) / n – 1

^{i =1}

у якій Δ_і = Х_і – m_x випадкові похибки виправленого ряду спостережень.

г) Визначається наявність грубих похибок, які відповідають відношенню

Δ ≥ 3 σ

д) Результат из грубими помилками опускають і проводять обчислювання для меншого числа спостережень з попередньою послідовністю.

е) Задавшись значенням довірчої ймовірності Р при встановленої кількості спостережень, за допомогою таблиці знаходять коефіцієнт Стьюдента t_p, і таким чином визначається ймовірне значення випадкової похибки:

Δ_йм = t_p σ_х / √n

ж) Результат дійсного значення записується в такому вигляді:

Х_д = m_x ± Δ_йм ; при Р = 0,9 – 0,9973 або

Х_д = m_x ± t_p σ_х / √n; при Р = 0,9 – 0,9973