«Золоте правило» нагромадження капіталу для економіки із незмінною чисельністю населення та за відсутності технічного прогресу
Оптимальний стаціонарний рівень капіталоозброєності досягається тоді, коли максимізується обсяг споживання в економіці:
Або:
Максимум функції досягається, коли:
Звідси:
«Золоте правило» нагромадження капіталу для економіки із незмінною чисельність населення та за відсутності технічного прогресу (Е.Фелпс): суспільство максимізує споживання за умови, що гранична продуктивність капіталу відповідає нормі амортизації.
Графічний вияв досягнення «золотого правила» - рівність нахилів функції інвестицій для стаціонарного стану та виробничої функції.
Згідно з теорією Солоу економіка тяжіє до стаціонарного стану за «золотим правилом» автоматично.
Насправді обсяг капіталу зазвичай менший і потребує у певні моменти часу істотного обмеження споживання на користь інвестицій.
Ііі. Зміна чисельності населення та науково-технічний прогрес як визначники економічного зростання
Погляди економістів на взаємозв’язок динаміки народонаселення та темпів економічного зростання:
традиційний (мальтусівський) – для підвищення темпів економічного зростання, а отже і зростання доходів, необхідно знизити темпи зростання населення;
к
онцепція
«демографічного переходу» - для
уповільнення темпів зростання населення
слід спершу досягти високих темпів
економічного зростання. Спирається на
демографічну статистику розвинутих
країн, і зокрема на аналіз наступних
показників:коефіцієнт народжуваності – кількість народжувань на тисячу населення у країні за рік (Кн);
коефіцієнт смертності – кількість смертей на тисячу населення у країні за рік (Кс);
коефіцієнт природного приросту – різниця між коефіцієнтами народжуваності та смертності.
Причини скорочення народжуваності у розвинутих країнах:
діти перестали бути «економічним активом»;
соціальні програми компенсують витрати у старості;
виховання дітей стає дорожчим.
Модель Солоу із змінною чисельністю працівників
Якщо темп приросту чисельності працівників складає n, то зміна капіталоозброєності дорівнює:
Величину (h+n)k розглядають як порогові інвестиції, тобто такі, що покликані компенсувати зношений капітал та забезпечити достатнім капіталом додаткових працівників.
В цьому разі умовою досягнення економікою стаціонарного рівня капіталу є:
Неоднозначність впливу приросту чисельності працівників на економічне зростання:
якщо темпи приросту працівників не дозволяють забезпечити додаткових працівників належним обсягом капіталу, то рівень капіталоозброєності знижується, що веде до зменшення продуктивності праці (але й до прискорення темпів економічного зростання);
якщо в економіці вдалося зберегти капіталоозброєність на незмінному рівні завдяки додатковим заощадженням, трансформованим у інвестиції, то приріст населення веде до зростання абсолютного випуску продукції.
У країнах із високими темпами зростання чисельності населення забезпечити достатній обсяг заощаджень та інвестицій здебільшого не вдається. Спрацьовує так зване «закляте коло бідності».
«Золоте правило» нагромадження капіталу для економіки із змінною чисельністю населення та за відсутності технічного прогресу
Оптимальний стаціонарний рівень капіталоозброєності досягається тоді, коли максимізується обсяг споживання в економіці:
Максимум функції досягається, коли:
або 
«Золоте правило» нагромадження капіталу для економіки із змінною чисельністю населення та за відсутності технічного прогресу: суспільство максимізує споживання за умови, що чистий граничний продукт капіталу відповідає темпам приросту робочої сили.
Модель Солоу з науково-технічним прогресом
Формулу Кобба-Дугласа перепишемо у формі:
де E – коефіцієнт, що характеризує підвищення ефективності праці завдяки технічному прогресу, L·E – кількість ефективних працівників.
Поділивши праву і ліву частини функції на L·E, отримуємо:
Або ж, увівши
заміни:
– продуктивність праці ефективного
зайнятого,
- капіталоозброєність ефективного
зайнятого:
В економіці із технічним прогресом приріст капіталоозброєності визначається зношенням капіталу, темпами приросту робочої сили та темпом впровадження науково-технічного прогресу g, який збільшує кількість ефективних працівників:
В цьому разі умовою досягнення економікою стаціонарного рівня капіталу є:
Оптимальний стаціонарний рівень капіталоозброєності досягається тоді, коли максимізується обсяг споживання в економіці:
Максимум функції досягається, коли:
або 
«Золоте правило» нагромадження капіталу для економіки із змінною чисельністю населення та за наявності технічного прогресу: суспільство максимізує споживання за умови, що чистий граничний продукт капіталу відповідає сумі темпів приросту робочої сили та технічного прогресу.
Закономірності економічного зростання у розвинутих країнах у ХХ столітті:
затрати праці (в людино-годинах) зростали повільніше, ніж капітал (тобто капіталоозброєність зростала);
відношення національного продукту до затрат праці (продуктивність праці) зростало;
відношення обсягу капіталу до обсягу продукції (капіталомісткість) не виявляла чіткої тенденції;
частки праці та капіталу в національному доході залишалися відносно стабільними;
реальна заробітна плата зростала;
національний продукт в середньому зростав на 2-3%, а в останній чверті століття зростання уповільнилося;
відношення національних заощаджень та інвестицій до ВВП залишалось стабільним.
Сучасна макроекономіка вважає більш адекватним варіантом відображення економічної дійсності моделі виробничих функції із зростаючою віддачею від масштабу.
Оскільки безпосереднє
обчислення вкладу науково-технічного
прогресу у економічне зростання –
неможливе, найчастіше вдаються до методу
обліку економічного зростання.
Для цього виробничу функцію Кобба-Дугласа
диференціюють по кожному із факторів:
Кожен диференціал характеризує реакцію обсягу національного виробництва на одиничну зміну кожного з факторів (капіталу, праці, технологічного коефіцієнта). Сукупна ж зміна обсягу виробництва складатиме:
Звідси: 
Тоді вклад науково-технічного прогресу в зростання можна обчислити як залишкову величину (так званий залишок Солоу):
де
- темп приросту обсягу виробництва;
– темп приросту обсягу капіталу;
- темп приросту кількості праці.