3 семестp / Лекции / 2(Elektrostatika) / 05

1.9 Свойства равновесного распределения зарядов в проводнике.

, так как (то есть постоянно), то получаем:

Свойство № 1: в проводнике .

Свойство № 2: внутри проводника при равновесном распределении нет никаких электрических зарядов.

Рассмотри в объеме теорему Гаусса. . Так как .

Так как тело заряжено, следовательно, заряд равновесно распределен по его поверхности.

Свойство № 3: вектор напряженности электрического поля заряженного проводника перпендикулярен его поверхности. , где -вектор внешней нормали. Так как , то (так как ), но .

Пример:

это верно при .

Эквипотенциальная поверхность – это поверхность, где работа по перемещению заряда равна нулю.

. Пояснение: так как , так как . .

1.10 Сведения из векторного анализа.

Пусть – скалярное поле, а – векторное поле, тогда

1. 

2. 

3. ; ; – угол между векторами и .

4. ; – градиент

5. –дивергенция

6. – ротор

Выражение для дивергенции в декартовой системе координат.

. Поток через грань 2 равен . Поток через грань 1 равен . Поток через грани 1 и 2 вместе взятые составляет соответственно . Здесь – значение , усредненное по грани 1, а – значение , усредненное по грани 2. Если устремить к нулю, то оно преобразуется в , что в свою очередь равно . Следовательно, окончательно получится следующее: . В данном выражении берется в точке М. Аналогично рассуждая, получаем, что и . Окончательно получаем. Из этого следует, что . Легко видеть, что – эта формула фактически является формулировкой теоремы Гаусса-Остроградского, которую мы доказали прямо перед ней.

Выражение для ротора в декартовой системе координат.

. – циркуляция вектора по контуру с. – произвольная поверхность, натянутая на контур с. Найдем циркуляцию вектора . Для поиска циркуляции вводят нормаль по правому винту. _{. Минус перед ротором здесь потому что . Совершенно аналогично мы получаем, что и .}

_{То, что мы сейчас делали является, фактически, доказательством теоремы Стокса:} ﾧ

Замечания и примеры.

1. Так как ﾵ ﾧ и ﾵ ﾧследовательно получаем:ﾵ ﾧ–дифференциальная формулировка теоремы Гаусса.

2. ﾵ ﾧ, но ﾵ ﾧ, следовательно ﾵ ﾧ. Так как работа электрических сил по замкнутому контуру = 0, то ﾵ ﾧ и следовательно выражение ﾵ ﾧ является условием потенциальности электростатического поля.