Симетрія відносно прямої

Нехай а — фіксована пряма. Візьмемо довільну точку Х і опустимо перпендикуляр AX на пряму а. На продовженні цього перпендикуляра за точку А відкладемо відрізок . Точка називається симетричною точці X відносно прямої а. Якщо точка X лежить на прямій а, то вона симетрична сама собі відносно прямої а. Очевидно, що точка, симетрична точці , є точка X. Перетворення фігури F у фігуру , при якому кожна точка X фігури F переходить у точку , симетричну відносно даної прямої а, називається перетворенням симетрії відносно прямоїа. Отримані фігури називаються симетричними відносно прямоїа. Якщо перетворення симетрії відносно прямої а переводить фігуру F у себе, то така фігура називається симетричною відносно прямоїа. На рисунках наведені приклади осей симетрії фігур. Теорема. Перетворення симетрії відносно прямої є рухом.

Поворот

Поворотом площини навколо даної точки називається такий рух, при якому кожний промінь, що виходить із даної точки, повертається на один і той самий кут в одному й тому самому напрямку (див. рисунок).

Паралельне перенесення та його властивості

Перетворення фігури F, при якому довільна її точка з координатами переходить у точку , де a і b — одні й ті самі для всіх точок, називається паралельним перенесенням. Теорема. Паралельне перенесення є рухом. При паралельному перенесенні пряма переходить у паралельну пряму (або в себе) (див. рисунок).

Існування та єдиність паралельного перенесення

Теорема. Які б не були дві точки А і , існує одне, й тільки одне, паралельне перенесення, при якому точка А переходить у точку .

Співнаправленість півпрямих

Дві півпрямі називаються однаково напрямленими або співнапрямленими, якщо вони суміщаються паралельним перенесенням (рисунок 1). Теорема. Якщо півпрямі а і b однаково напрямлені й півпрямі b і c однаково напрямлені, то півпрямі а і c також однаково напрямлені. Дві півпрямі називаються протилежно напрямленими, якщо кожна з них одна­ково напрямлена з півпрямою, допов­няльною до другої (рисунок 2). Рис. 1 a, b — співнапрямлені півпрямі Рис. 2 c, d — протилежно напрямлені півпрямі

Рівність фігур

Дві фігури називаються рівними, якщо вони переводяться рухом одна в одну. Теорема. Рівні трикутники (означення дивись у розділі «Геометрія. 7 клас») є рівними фігурами, тобто суміщаються рухом.

Вектори

Вектором називається напрямлений відрізок. На рисунку зображений вектор, який можна позначити або . Вектори і називаються однаково напрямленими, якщо однаково напрямлені півпрямі AB і CD. Вектори і називаються протилежно напрямленими, якщо протилежно напрямлені півпрямі AB і CD. Абсолютною величиною, або модулем вектора, називається довжина відрізка, що зображує вектор. Позначення: або . Вектор називається нульовим, якщо початок вектора збігається з його кінцем. Позначення: . Нульовому вектору не приписують ніякого напряму: . Два вектори називаються рівними, якщо вони суміщаються паралельним перене­сенням. Два вектори рівні тоді й тільки тоді, коли вони однаково напрямлені й рівні за абсолютною величиною. Два ненульові вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямий або на паралельних прямих. Колінеарні вектори або однаково напрямлені, або протилежно напрямлені. Позначення: . Теорема. Нехай — вектор і A — довільна точка. Тоді від точки А можна відкласти один і тільки один вектор , що дорівнює вектору .

Координати векторa

Нехай вектор має початком точку , а кінцем — точку . Координатами вектора називаються числа і . Позначення: або . . Очевидно, що . Теорема. Вектори рівні тоді й тіль­ки тоді, коли вони мають рівні відповідні координати.

Додавання векторів

Сумою векторів і називається вектор . Додавання векторів має переставну та сполучну властивості: ; для будь-яких , , . Теорема. Які б не були точки A, B, C, справджується векторна рівність: .

Правило трикутника додавання векторів

Щоб знайти суму довільних векторів і , треба від кінця вектора (див. рисунок) відкласти вектор , що дорівнює вектору . Тоді вектор, початок якого збігається з початком вектора , а кінець — з кінцем вектора , буде сумою векторів і .

Правило паралелограма

Для векторів із спільним початком їх сума зображується діагоналлю паралелограма, побудованого на цих векторах, яка виходить з їх спільного початку (див. рисунок). Якщо треба знайти суму кількох векторів, можна скористатися правилом многокутника (див. рисунок). Різницею векторів і називається такий вектор , який у сумі з вектором дає вектор : . Теорема. Для векторів і із спільним початком . Щоб знайти різницю векторів і , треба від однієї точки відкласти вектори в і , що дорівнюють їм (див. рисунок). Тоді вектор, початок якого збігається з кінцем вектора , а кінець — з кінцем , буде різницею і . Тобто, якщо вектори і мають спільний початок, вектор іде з кінця від’ємника в кінець зменшуваного.