![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Основные понятия теории вероятностей.
- •Классическое определение вероятности.
- •Частота и статистическая вероятность.
- •Геометрическая вероятность. Задача о встрече.
- •Теоремы сложения вероятностей.
- •Теорема сложения вероятностей.
- •Теорема сложения для совместных событий.
- •Теоремы умножения вероятностей.
- •Теорема умножения вероятностей.
- •Формула полной вероятности.
- •Формула Бейеса.
- •Повторение испытаний. Частная теорема о повторении опытов.
- •Общая теорема о повторении опытов. Производящая функция.
- •Теорема.
- •Функция распределения случайной величины.
- •Плотность распределения.
- •Числовые характеристики случайных величин.
- •Неравенство Чебышева.
- •Теорема Чебышева.
- •Обобщенная теорема Чебышева. Теорема Маркова.
- •Характеристические функции.
- •Центральная предельная теорема.
- •Следствие из теоремы Ляпунова – теоремы Лапласа.
- •Свойства числовых характеристик (математическое ожидание, дисперсия).
- •Нормальное распределение.
- •Правило «трёх сигма».
- •Равномерное распределение.
- •Закон Пуассона.
- •Функция одного случайного аргумента.
- •Функция двух случайных аргументов.
- •Закон распределения двумерной случайной величины.
- •Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
Функция одного случайного аргумента.
Если каждому возможному значению случайной величины X соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента Х:
Пусть аргумент Х – дискретная случайная величина.
Если различным возможным значениям аргумента Х соответствуют различные возможные значения функции Y, то вероятности соответствующих значений X и Y равны.
Если различным возможным значениям Х соответствуют значения Y, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений Y.
Математическое ожидание:
Пусть аргумент Х – непрерывная случайная величина. Если
дифференцируема строго возрастающая или просто убывающая функция, обратная функция которой
, то дифференциальная функция
случайной величины Y находится по равенству:
Математическое ожидание:
Функция двух случайных аргументов.
Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов Х и Y.
Пусть Х и Y – дискретные независимые случайные величины. Для того, чтобы составить закон распределения функции Z=X+Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности.
Пусть Х и Y – непрерывные случайные величины. Если Х и Y независимы, то дифференциальная функция g(x) суммы Z=X+Y (при условии, что дифференциальная функция хотя бы одного из аргументов задана на интервале (-∞; +∞)) может быть найдена по равенству:
Если возможные значения аргументов неотрицательны, то:
Закон распределения двумерной случайной величины.
Если
на пространстве событий заданы две
случайные функции
и
,
то говорят, что задана двумерная случайная
величина (Х, Y).
Интегральной функцией распределения двумерной случайной величины (Х, Y) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств:
:
Геометрически означает вероятность попадания в бесконечный квадрат с вершиной (х, y).
Свойства функции:
Для двумерной случайной величины (Х, Y) интегральная функция распределения равна:
Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
Пусть
из генеральной совокупности извлечена
выборка, причем х1
наблюдалось n1
раз, …, хk
– nk
раз и
– объём выборки. Наблюдаемые значения
xi
называются вариантами, а возрастающая
последовательность вариант – вариационным
рядом.
Число наблюдений называется частотой, а её отношение к объёму выборки – относительной частотой.
Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.
Эмпирической функцией распределения называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X<x.
nx – число вариант, меньших х
n – объём выборки.
Свойства Эмпирической функции распределения:
Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0, 1].
- неубывающая функция.
Если х1 – наименьшая варианта, то
при
Если
xk
– наибольшая варианта, то
при
Эмпирическая функция служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.
Полигоном
частот
называют ломаную, отрезки которой
соединяют точки
.
Для построения полигона частот на оси
абсцисс откладывают варианты
,
а оси ординат – соответствующие им
частот
.
Точки
соединяют отрезками прямых и получают
полигон частот.
Полигоном
относительных частот
называют ломаную, отрезки которой
соединяют точки
.
Полигон относительных частот строят
аналогично.
Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению ni/h (плотность частоты).
Площадь гистограммы частот равна объёму выборки.
Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению Wi/h (плотность относительной частоты).
Площадь гистограммы относительных частот равна 1.