![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Основные понятия теории вероятностей.
- •Классическое определение вероятности.
- •Частота и статистическая вероятность.
- •Геометрическая вероятность. Задача о встрече.
- •Теоремы сложения вероятностей.
- •Теорема сложения вероятностей.
- •Теорема сложения для совместных событий.
- •Теоремы умножения вероятностей.
- •Теорема умножения вероятностей.
- •Формула полной вероятности.
- •Формула Бейеса.
- •Повторение испытаний. Частная теорема о повторении опытов.
- •Общая теорема о повторении опытов. Производящая функция.
- •Теорема.
- •Функция распределения случайной величины.
- •Плотность распределения.
- •Числовые характеристики случайных величин.
- •Неравенство Чебышева.
- •Теорема Чебышева.
- •Обобщенная теорема Чебышева. Теорема Маркова.
- •Характеристические функции.
- •Центральная предельная теорема.
- •Следствие из теоремы Ляпунова – теоремы Лапласа.
- •Свойства числовых характеристик (математическое ожидание, дисперсия).
- •Нормальное распределение.
- •Правило «трёх сигма».
- •Равномерное распределение.
- •Закон Пуассона.
- •Функция одного случайного аргумента.
- •Функция двух случайных аргументов.
- •Закон распределения двумерной случайной величины.
- •Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
Неравенство Чебышева.
Рассмотрим дискретную случайную величину Х, заданную таблицей распределения:
Х |
X1 |
X2 |
… |
Xn |
P |
P1 |
P2 |
… |
Pn |
Неравенство Чебышева.
Вероятность
того, что отклонение случайной величины
от её математического ожидания не
превышает по абсолютной величине
положительного числа
не меньше, чем
:
Доказательство:
Так
как события, состоящие в осуществлении
неравенств
и
противоположны, то сумма их вероятностей
равна единице.
Напишем выражение дисперсии случайной величины Х:
По
теореме сложения сумма вероятностей
есть вероятность того, что Х примет
одно, безразлично какое, из значений
,
а при любом из них отклонение будет
удовлетворять неравенству
.
Отсюда следует, что сумма
выражает вероятность
.
Значит:
Подставляя (3) в (1), окончательно получим что и требовалось доказать.
Теорема Чебышева.
Теорема Чебышева: При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюдённых значений случайной величины сходится по вероятности к её математическому ожиданию.
-
произвольно малые положительные числа
Аналогично
этому, по теореме Чебышева, при увеличении
n
среднее арифметическое
сходится по вероятности к
,
то есть:
Доказательство:
Как
бы мало не было число Ɛ, можно взять n
таким большим, чтобы выполнялось
неравенство:
.
Тогда:
Что и требовалось доказать.
Обобщенная теорема Чебышева. Теорема Маркова.
Обобщенная теорема Чебышева.
Если
- независимые случайные величины с
математическими ожиданиями
и дисперсиями
и если все дисперсии ограничены сверху
одним и тем же числом L:
,
то при возрастании L
среднее арифметическое наблюденных
значений
сходится по вероятности к среднему
арифметическому их математических
ожиданий.
Доказательство:
Математическое ожидание величины
равно
,
а дисперсия
.
Применим неравенство Чебышева:
Откуда, переходя к противоположному событию, получим доказываемое неравенство.
Теорема Маркова.
Если имеются зависимые случайные величины и при n ∞
,
то среднее арифметическое наблюденных
значений величин
сходится по вероятности к среднему
арифметическому их математических
ожиданий.
Доказательство:
Рассмотрим величину
.
Очевидно,
.
Применим неравенство Чебышева:
Так
как n
∞
,
то при достаточно большом n
.
Переходя
к противоположному событию, получим:
Что и требовалось доказать.
Характеристические функции.
Характеристической функцией случайной величины Х называется функция
Где
i
– мнимая единица. Функция g(t)
представляет собой математическое
ожидание некоторой комплексной случайной
величины
,
функционально связанной с величиной
Х.
Зададим Х – дискретную случайную величину её рядом распределения
Xi |
X1 |
X2 |
… |
Xn |
Pi |
P1 |
P2 |
… |
Pn |
То
её характеристическая функция
.
Если
Х – непрерывная случайная величина с
плотностью распределения f(x),
то
.
Обратное преобразование Фурье:
Свойства характеристических функций:
Если случайные величины X и Y связаны соотношением
, где а – неслучайный множитель, то их характеристические функции связаны соотношением:
Доказательство:
Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.