- •Основные понятия теории вероятностей.
- •Классическое определение вероятности.
- •Частота и статистическая вероятность.
- •Геометрическая вероятность. Задача о встрече.
- •Теоремы сложения вероятностей.
- •Теорема сложения вероятностей.
- •Теорема сложения для совместных событий.
- •Теоремы умножения вероятностей.
- •Теорема умножения вероятностей.
- •Формула полной вероятности.
- •Формула Бейеса.
- •Повторение испытаний. Частная теорема о повторении опытов.
- •Общая теорема о повторении опытов. Производящая функция.
- •Теорема.
- •Функция распределения случайной величины.
- •Плотность распределения.
- •Числовые характеристики случайных величин.
- •Неравенство Чебышева.
- •Теорема Чебышева.
- •Обобщенная теорема Чебышева. Теорема Маркова.
- •Характеристические функции.
- •Центральная предельная теорема.
- •Следствие из теоремы Ляпунова – теоремы Лапласа.
- •Свойства числовых характеристик (математическое ожидание, дисперсия).
- •Нормальное распределение.
- •Правило «трёх сигма».
- •Равномерное распределение.
- •Закон Пуассона.
- •Функция одного случайного аргумента.
- •Функция двух случайных аргументов.
- •Закон распределения двумерной случайной величины.
- •Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
Центральная предельная теорема.
Если - независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием m и дисперсией , то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы этих случайных величин приближается к нормальному.
Доказательство: Так как случайные величины имеют один и тот же закон распределения с плотностью f(x), то они имеют одну характеристическую функцию:
Представим функцию в окрестности точки t=0
при .
Дисперсия D=1 и не зависит от n.
Следствие из теоремы Ляпунова – теоремы Лапласа.
Следствие из теоремы Ляпунова: если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.
Локальная теорема Лапласа. Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(k) того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближённо равна (тем точнее, чем больше n) значению функции
При . Значения функции можно посмотреть в специальной таблице.
Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(k1,k2) того, что событие А появится в n испытаниях от k1 до k2 раз, приближённо равна определённому интегралу.
где и .
Значение интеграла нужно смотреть в таблице.
Свойства числовых характеристик (математическое ожидание, дисперсия).
Свойства математических ожиданий.
Математической ожидание постоянной величины равно самой этой постоянной.
Доказательство: Постоянную величину С можно рассматривать как случайную, которая принимает лишь одно значение С с вероятностью 1, поэтому M[C]=C*1=C
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, то есть M[kX]=kM[X].
Доказательство: kX – это случайная величина, которая принимает значение kXi и P(kX=kxi)=pi i=1, 2,…,n. Математическое ожидание kX:
Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий:
Следствие: Математическое ожидание разности случайных величин равно разности их математических ожиданий:
Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
Если все значения случайной величины Х уменьшить (увеличить) на одно и то же число С, то математическое ожидание её уменьшится (увеличится) на то же число С.
Следствие: Математическое ожидание отклонения случайной величины Х от её математического ожидания равно нулю.
Свойства дисперсии.
Дисперсия постоянной величины равна нулю.
Доказательство:
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат, то есть
Доказательство:
Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата случайной величины без квадрата математического ожидания:
Дисперсия суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
Дисперсия разности случайных величин равна сумме их дисперсий: