- •Основные понятия теории вероятностей.
- •Классическое определение вероятности.
- •Частота и статистическая вероятность.
- •Геометрическая вероятность. Задача о встрече.
- •Теоремы сложения вероятностей.
- •Теорема сложения вероятностей.
- •Теорема сложения для совместных событий.
- •Теоремы умножения вероятностей.
- •Теорема умножения вероятностей.
- •Формула полной вероятности.
- •Формула Бейеса.
- •Повторение испытаний. Частная теорема о повторении опытов.
- •Общая теорема о повторении опытов. Производящая функция.
- •Теорема.
- •Функция распределения случайной величины.
- •Плотность распределения.
- •Числовые характеристики случайных величин.
- •Неравенство Чебышева.
- •Теорема Чебышева.
- •Обобщенная теорема Чебышева. Теорема Маркова.
- •Характеристические функции.
- •Центральная предельная теорема.
- •Следствие из теоремы Ляпунова – теоремы Лапласа.
- •Свойства числовых характеристик (математическое ожидание, дисперсия).
- •Нормальное распределение.
- •Правило «трёх сигма».
- •Равномерное распределение.
- •Закон Пуассона.
- •Функция одного случайного аргумента.
- •Функция двух случайных аргументов.
- •Закон распределения двумерной случайной величины.
- •Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
Повторение испытаний. Частная теорема о повторении опытов.
Независимые опыты могут производиться в одинаковых или разных условиях. В первом случае вероятность события А во всех опытах будет одинакова. В этом случае применяется частная теорема о повторении опытов. Во втором случае вероятность повторения события А будет разной. Применяется общая теорема повторения опытов.
Частная теорема повторения опытов.
Пусть проводится три независимых выстрела по мишени с вероятность P. Вычислить вероятность того, что будет два попадания. q=1-p
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n – все исходы
m – благоприятные исходы
p – вероятность благоприятного исхода
Это формула Бернулли.
Пример: Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет 2 раза.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=5
m=2
p=0,5 – вероятность выпадения гербы
q=0,5
Общая теорема о повторении опытов. Производящая функция.
Общая теорема о повторении опытов применяется тогда, когда опыты производятся в неодинаковых условиях и вероятность события от опыта к опыту меняется.
Путь производится n независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться событие А с вероятностью в каждом i-ом опыте Pi. Требуется найти вероятность Pm,n того, что в результате n опытов, событие А появится m раз.
Пусть Bm – вероятность того, что событие А появится m раз в n опытах. Представим Bm как сумму произведений элементарных событий (в каждое произведение событие А входит m раз, а событие n-m раз):
Применяя теорему сложения и теорему умножения для независимых событий, получим:
Составим произведение n биномов:
Коэффициент при Z будет представлен виде произведения n букв p и n-m букв q.
Функция , разложение которой по степеням параметра z даёт в качестве коэффициентов вероятности Pm,n , называется производящей функцией.