Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.
Теорема (признак) Лейбница
Для знакочередующихся рядом действует
достаточный признак сходимости
Лейбница.
Пусть
является числовой последовательностью,
такой, что
1.
для всех
;
2.
.
Тогда
знакочередующиеся ряд
ы
и
сходятся.
Из теоремы Лейбница вытекает следствие, позволяющее оценить погрешность вычисления неполной суммы ряда:
Остаток сходящегося знакочередующегося
ряда
будет по модулю меньше первого отброшенного
слагаемого:
Функциональные ряды. Область сходимости и расходимости. Общий член рядов Тейлора и Маклорена. Условие разложимости функции в ряд Тейлора и Маклорена. Стандартные разложения.
Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция
.Область сходимости (расходимости) – такое множество значений , при котором ряд будет сходится (расходится).
Тейлора:
Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд
называется рядом Тейлора функции f в точке a.
Маклорена
– тоже самое, только при
,
тоесть
Пусть функция имеет на интервале
,
производные всех подяков и
,
для всех
и для всех
,
тогда
разложима на интервале
в степенной ряд вида
.Стандартные разложения. Для однозначных функций разложения в ряд Тейлора в принципе не могут отличиться от изучавшихся в прошлом семестре разложений:
;
;
;
;
;