2. Головні напруження та головні площадки.

В курсі “Опір матеріалів” було показано, що при плоскому напруженому стані в точці існують площадки, на яких діють лише тільки нормальні напруження, а дотичні відсутні. Такі площадки називають головними площадками, а відповідні нормальні напруження – головними напруженнями.

Аналогічні площадки та напруження існують і при об’ємному напруженому стані.

Припустимо, що нормаль до головної площадки утворює з координатними осями x, y, z кути, косинуси яких дорівнюють ℓ, m, n, при цьому повинна виконуватися геометрична умова:

. (2.2)

Головні напруження на цій площадці позначимо через σ, проекції якого на осі x, y, z будуть визначатися рівняннями:

(2.3)

З іншого боку, ці ж самі складові можуть бути виражені через напруження σ_x, τ_xy, …. ґрунтуючись на рівняннях (2.1). Оскільки ліва частина рівнянь (2.1) та (2.3) описує одне і теж саме, то ми можемо прирівняти праві частини цих залежностей, а саме:

(2.4)

Представимо останню систему рівнянь в наступному вигляді:

(2.5)

Отримана однорідна система рівнянь не передбачає тривіального розв’язку ℓ = m = n = 0, оскільки він суперечить умові (2.2). Для існування інших розв’язків цієї системи, при яких хоча б один з направляючих косинусів був би відмінний від нуля, потрібно, щоб визначник системи рівнянь (2.5) дорівнював нулю, тобто:

(2.6)

Розкриємо визначник:

Після скорочення та групування за ступенями σ отримаємо кубічне рівняння:

або в скороченому вигляді:

(2.7)

де

(2.8)

Рівняння (2.7) називають характеристичним рівнянням відносно σ. Розв’язок цього рівняння дає три корені: σ₁, σ₂, σ₃; всі вони будуть дійсними. Найбільший за алгебраїчним значенням корінь позначають σ₁, а найменший – σ₂. Таким чином, в кожній точці напруженого тіла завжди може діяти три головних напруження:

Підставимо одне зі значень головних напружень σ_і в рівняння (2.5). Розв’язуючи після цього будь-які два зі вказаних рівнянь сумісно з рівнянням (2.2), отримаємо спрямовуючи косинуси ℓ_і, m_і, n_і головних площадок. Детальне дослідження косинусів, отриманих для кожного головного напруження, показує, що головні площадки взаємно ортогональні одна до одної.

Величини головних напружень не залежать від розташування координатних осей x, y, z. Дійсно, якщо навколо заданої точки вирізати декілька елементарних паралелепіпедів з різним напрямком граней і підставити величини складових напружень для кожного з паралелепіпедів в рівняння (2.7), то для усіх паралелепіпедів повинні бути отримані одні і ті ж величини головних напружень. Тоді, корні кубічного рівняння (2.7) не залежать від вибору координатної системи і коефіцієнти рівняння повинні зберігати сталі значення при перетвореннях осей системи координат, тобто вони є інваріантами. В зв’язку з цим, величини І₁, І₂, І₃ носять назву, відповідно першого, другого та третього інваріантів напруженого стану. Останні можна виразити через головні напруження, для чого в формулах (2.8) дотичні напруження потрібно прирівняти до нуля, а нормальним присвоїти індекси головних напружень, тобто:

(2.9)

В теорії напружень інваріанти слід розглядати як основні характеристики напруженого стану в точці, а складові напружень, в наслідок прив’язки до осей координат, як додаткові.

Аналізуючи розглянуте питання можна стверджувати, що напружений стан в точці визначається головними напруженнями та орієнтацією головних площадок.