4. Диференціальні рівняння рівноваги.

Р озглянемо тіло довільного обрису з накладеними на нього опорними в’язями та на яке впливає зовнішнє навантаження. З його об’єму виділимо нескінченно малий об’єм тіла у вигляді паралелепіпеду з гранями, паралельними координатним площинам і ребрами довжиною dx, dy, dz (рис. 1.4). На кожній грані паралелепіпеду будуть діяти три складові повного напруження, паралельні координатним осям. Всього на шести гранях будуть діяти 18 складових напружень.

В точці, яка знаходиться на нескінченно малій відстані від точки що розглядається, будь-яке напруження (нехай σ_x) з достатньою ступеню точності можна розкласти в ряд Тейлора:

(1.2)

На площадках, паралельних площині yOz, змінюється тільки координата х, а приріст dy = dz = 0. Тому на грані паралелепіпеду, що співпадає з координатною площиною yOz, нормальне напруження позначено σ_x, а на паралельній грані, де відбувся приріст напруження, напруження набуло значення . Величину останнього отримано на підставі виразу (1.2). з врахуванням того, що dy = dz = 0. Таким же чином пов’язані між собою напруження і на інших паралельних гранях паралелепіпеду. Отже, з 18 складових напружень невідомими залишаються тільки дев’ять: σ_x, σ_y, σ_z, τ_xy, τ_zy, τ_zx, τ_yx, τ_yz, τ_хz.

Крім напружень на паралелепіпед діють об’ємні сили. Позначимо проекції об’ємних сил на координатні осі, які віднесені до одиниці об’єму тіла, через X, Y, Z. Тоді складові об’ємних сил, які діють в об’ємі паралелепіпеду будуть дорівнювати:

Оскільки розглядуваний паралелепіпед повинен знаходитися в рівновазі, застосуємо до нього рівняння рівноваги статики, а саме - сума проекцій на вісь х дорівнює нулю. Під час складання рівняння помножимо кожне напруження на площу грані, за якою воно діє, та перейдемо таким чином від напружень до сил, при цьому отримаємо:

Розкриємо дужки, приведемо подібні та поділимо складові останнього рівняння на об’єм паралелепіпеду dV = dxdydz:

Аналогічно можна скласти рівняння проекцій на осі y та z. Таким чином, отримаємо три диференціальних рівняння рівноваги:

(1.3)

Складемо інше рівняння рівноваги статики. Візьмемо суму моментів відносно осі z:

В останньому рівнянні відкриємо дужки, приведемо подібні, поділимо кожен член рівняння на dV та відкинемо величини більшого порядку малості порівняно з іншими. Після згадуваних перетворень отримаємо:

(1.4)

При складанні рівняння моментів відносно осей x та y, отримаємо ще два аналогічних співвідношення, тобто загальна кількість співвідношень буде дорівнювати трьом, а саме:

(1.5)

Останні три рівняння представляють собою закон парності дотичних напружень, який гласить: за двома взаємно перпендикулярними площадками складові дотичних напружень, перпендикулярні лінії перетину цих площадок, рівні між собою.

Внаслідок парності дотичних напружень замість дев’яти невідомих складових напружень, які характеризують напружений стан точці тіла, залишається тільки шість:

(1.6)

Для визначення шести невідомих функцій (1.6) є лише три диференціальних рівняння рівноваги (1.3). Відповідно, рівнянь статики недостатньо і задача теорії пружності з визначення напружень в нескінченно малому об’ємі є статично невизначуваною. Рівняння, яких не вистачає можна отримати, розглянувши фізичний та геометричний аспекти задачі.