2. Основні гіпотези та припущення в теорії пружності.

Сучасний стан науки не дає можливості створювати загальні методи розрахунку, які б враховували всі особливості побудови реальних тіл. Тому класична теорія пружності всі свої висновки будує на підставі розгляду певної моделі деформованого твердого тіла. Такою моделлю є ідеально пружне тіло, для якого вважають справедливими наступні припущення:

1. Початковий стан передбачається таким, що при відсутності навантаження в тілі не виникає ніяких напружень. Такий стан тіла називають природнім.

Це припущення виключає з розгляду початкові напруження, характер та величина яких, зазвичай, невідомі і залежать від історії виникнення тіла.

2. Матеріал тіла вважають ідеально пружнім, що передбачає лінійну залежність між навантаженням тіла та його переміщенням. Останнє дозволяє встановити однозначну залежність між напруженнями та деформаціями.

3. Тіло вважають суцільним, тобто неперервне до деформування, воно залишається неперервним і після деформування. Будь-який обсяг тіла, враховуючи мікрообсяги, не має пустот та розривів. Це дозволяє розглядати деформації та переміщення точок тіла як неперервні функції координат. Тим самим не приймається до уваги структура речовини та рух молекул, які утворюють тіло.

4. Тіло вважають однорідним. Це значить, що в усіх точках тіла при одних і тих же напруженнях виникають однакові деформації. Припущення про однорідність дозволяє вважати величини, які характеризують пружні властивості тіла, сталимит за всім обсягом тіла.

5. Тіло вважають ізотропним. Тобто вважають, що пружні властивості тіла однакові за всіма напрямками

Розглянемо основні принципи теорії пружності:

1. Переміщення тіла нескінченно малі у порівнянні з його лінійними розмірами, а відносні подовження та кути зсуву нескінченно малі у порівнянні з одиницею.

2. Принцип незалежності дії сил. Дозволяє розрахувати результат впливу на тіло системи сил шляхом додавання результатів впливу кожної сили окремо.

3. Принцип Сен-Венана (принцип локальності ефекту само врівноваженого навантаження) – в точках твердого тіла, достатньо віддалених від місця прикладання навантаження, напруження мало залежить від характеру розподілення цього навантаження по поверхні тіла. Спираючись на цей принцип рівномірно-розподілене навантаження, можна замінити зосередженою силою.

Задачі теорії пружності мають більш простий розв’язок у порівнянні з аналогічними задачами теорії пластичності. Розв’язок задач з врахуванням пластичних властивостей матеріалу в значній мірі спирається на розв’язок аналогічних задач теорії пластичності.

3. Поняття сил та напружень.

Все зовнішнє навантаження, яке впливає на тверде тіло, поділяють на дві групи: поверхневе та об’ємне.

Поверхневі сили виникають в результаті контакту тіл і розподілені по поверхні тіла (сила тиску води на греблю, сила тиску фундаменту на основу і т. ін.).

Поверхневі сили характеризуються інтенсивністю, тобто величиною сили, яка приходиться на одиницю поверхні, за якою ця сила розподілена. Якщо розміри площі, на яку впливає сила, малі у порівнянні з розмірами тіла, то такою площею можна знехтувати і вважати, що така сила прикладена в точці. Таку силу вважають зосередженою.

Об’ємні сили діють в кожній точці тіла (власна вага тіла, сили інерції).

Р озглянемо тіло довільного обрису з накладеними на нього опорними в’язями та на яке впливають поверхневі і об’ємні сили (рис. 1.1). Застосуємо до нього метод перерізів. Подумки розсічемо тіло на дві частини I і II, та відкинемо частину II. Положення площини перерізу у просторі визначається напрямком нормалі ν. Як відомо, з курсу “Опір матеріалів”, дію відкинутої частини замінюють головним вектором сили R та головним вектором моменту M, що діють в центрі ваги перерізу. Останні представляють собою рівнодійні елементарних сил ∆Р за всіма нескінченно малими площами ∆А, на які можна розбити переріз, що розглядається. Інтенсивність внутрішніх сил називають напруженням. При цьому співвідношення ∆Р / ∆А буде середнім напруженням за площею ∆А, а при переході до межі при ∆А, прямує до нуля, отримаємо повне напруження в даній точці розглядуваного перерізу на площадці з нормаллю ν:

(1.1).

Повне напруження P_ν в загальному випадку не співпадає з напрямком нормалі ν (рис. 1.1). Тому крім величини повного напруження потрібно знати його напрямок у просторі. Для цього потрібно повне напруження розкласти за напрямком осей ортогональної системи координат XYZ. Проекціями повного напруження на координатні вісі є X_ν, Y_ν, Z_ν. Позначення X_ν читають наступним чином: проекція на вісь х повного напруження на площадці з зовнішньою нормаллю ν. Складові повного напруження показані на рис. 1.1.

В перерізах, паралельних координатним площинам, індекс ν замінюють індексом координатної осі, нормальної до перерізу (рис. 1.2). Складову Z_z (σ_z) спрямовану вздовж перерізу називають нормальним напруженням. Індекс z позначає нормаль до перерізу.

Складові Y_z (τ_yz), X_z, (τ_xz) що лежать в площині перерізу, називають дотичними напруженнями. Перший індекс позначає напрямок дотичного напруження, а другий індекс – нормаль до перерізу.

Якщо вирізати з розглядуваного тіла елементарний паралелепіпед, ребра якого будуть паралельні координатним осям, то з дев’яти складових напружень на його гранях, три складові будуть нормальними напруженнями: Z_z = σ_z, Y_y = σ_y, X_x = σ_x, а шість складових – дотичними:

Y_z = τ_yz; X_z = τ_xz; Z_x = τ_zx; Y_x = τ_yx; X_y = τ_xy; Z_y = τ_zy.

Надалі будемо використовувати другу систему позначень напружень.

Для напружень прийнято наступне правило знаків:

• нормальне напруження вважають додатнім якщо воно викликає розтягання матеріалу тіла (при цьому його напрямок співпадає з напрямком зовнішньої нормалі до площадки, на якій воно діє);

• дотичне напруження вважають додатнім, якщо на площадці, нормаль до якої співпадає з напрямком паралельної до неї координатної вісі, воно спрямоване в сторону додатного напрямку координатної вісі, яка відповідає цьому напруженню (якщо зовнішня нормаль співпадає з від’ємним напрямком паралельної до неї координатної вісі, то додатне дотичне напруження спрямоване в сторону від’ємного напрямку координатної вісі, яка йому відповідає).

На рис. 1.2 показано додатні, а на рис. 1.3 – від’ємні напрямки напружень.

В загальному випадку напруження, що виникають в твердому тілі будуть різними в різних точках тіла, тобто будуть функціями координат точок:

σ_x = σ_x (x, y, z);

σ_y = σ_y (x, y, z);

σ_z = σ_z (x, y, z);

τ_xy = τ_xy (x, y, z);

………………..