5 Усл: 1. Гладкая, 2. Без особых точек, 3. Двусторонняя, 4. Огр, 5. Полная

Лемма1. Люб обыкнов точка М0 гладкой пов-ти имеет окр, однозн проец-юся на касат пл-ть к Ф, провед через люб точку этой окр. Д-во. Д-ем, что подходит окр М": векторы нормали в т.М этой окр образ с n_M0 углы <π/4, эта окр однозн проец на некот круг в одной из коорд пл-тей (возм из Т1). Пусть M" не подходит => cущ т.М из M": M" не проец однозн на касат пл-ть в т.М => т.Р,Q : проец в одну точку => хорда PQ || n_M. Проведем пл-ть через PQ || Oz => она пересеч Ф по кривой PNQ, ее проекция на Oxy принадл проекции M" => PNQ принадл M", PNQ – график дифф-мой ф-ции, опред на своей проекции => по т.Лагранжа сущ т.N: касат в ней || РQ => n_N перпенд PQ => n_N перпенд n_M => ?!

Лемма2. Пусть пов-ть Ф удовл 5 усл, кроме мб 3. Тогда сущ δ>0: люб часть Ф" из Ф: d(Ф")<δ, однозн проец на асат плоск к Ф, провед через люб точку этой части и хотя бы на одну из коорд пл-тей произв ск. Д-во. От противного: люб δ_n=1/n>0 сущ Ф_n из Ф, d(Ф_n)<δ_n, кот однозн не проец либо на хотя бы одну из касат пл-тей, либо ни на одну из коорд в некот ск. Выбираем M_n из Ф_n и рассмотрим их посл-ть: {M_n} огр => из нее можно выделить сх-ся поспосл M_nk=> она сх-ся к М₀ из Ф => сущ окр M" т.М₀: она проец…; d(Ф_nk)→0 => начиная с некот номера Ф_nk входит в M" => ?!

24	Площадь поверхности. Квадрируемость поверхности.

5 Усл: 1. Гладкая, 2. Без особых точек, 3. Двусторонняя, 4. Огр, 5. Полная

Лемма. Пусть пов-ть Ф удовл 5 усл. Тогда люб ε>0 сущ δ>0: люб Ф" из Ф: d(Ф")<δ cosγ=1-a, 0<=a<ε, где γ – угол между нормалями в люб т. M, N из Ф". Д-во. Ф – двуст => n_M – непр ф-ция на Ф, Ф-компакт => n_M – равн непр на Ф => люб ε>0 сущ δ>0: люб N, M из Ф: р(M,N)<δ . =1-a, 0<=a<1/2*( )²=ε.

Ф удовл 5 усл, если есть граница, то ее площадь 0. Разбиваем Ф кусочно гладкими кривыми на Фi, не имеющие общих внутр точек, выбираем M_i, проводим касат пл-ти => φ_i – проекции Фi на них, σ_i – площади φ_i, диаметр разбиения Δ=maxd(Ф_i).

Опр. σ – предел ∑σ_i при Δ→0, если люб ε>0 сущ δ>0: Δ<δ независимо от выбора M_i |σ-∑σ_i |<ε.

Опр. Ф – квадр, если сущ конечный предел σ ∑σ_i при Δ→0.

Т. Если пов-ть Ф удовл 5 усл, то она квадр. Если r=r(u,v) – единая параметризация пов-ти, r – гладкая ф-ция на G, G – огр замкн квадр мн-во в пл-ти (u,v), то площадь Ф: .

Д-во. 1. Введена единая параметр. k сущ, т.к. подинтегр выраж непр в G. Фикс ε>0. Разбиваем Ф кусочно гладкими кривыми на Фi, не имеющие общих внутр точек: люб Ф_i однозн проец на люб касат пл-ть в точках Ф_i, люб Ф_i cosγ=1-a_i, 0<=a_i<min(1,ε/k) (Δ<δ). Выбираем M_i, проводим касат пл-ти. Д-ем -∑σ_i→k, Δ→0. k не зависит от выбора ск. Вычислим σ_i. Перейдем в ск: начало - M_i, Oxy – касат пл-ть, Oz – нормаль. , cosγ=С/|[,]|, cosγ=1-a_i, a_i<1 => cosγ>0 => C>0. люб (u,v) из G_i. k=∑A_i, A_i=

=> |∑σ_i-k|=∑a_iA_i<ε/k*∑A_i=ε.

2. На Ф нет единой параметр-ции => ее можно разбить на конечное число частей кусочно гладкими кривыми, каждая из кот однозн проец на одну из коорд пл-тей => явл графиком дифф-мой ф-ции => на каждой частьи вводится единая параметр => из 1 пункта |Ф|=сумме площадей частей.

Зам. z(x,y) => . , , , .

25	Поверхностные интегралы первого и второго рода.

5 усл: 1. гладкая, 2. без особых точек, 3. двусторонняя, 4. огр, 5. полная

Ф – пов-ть, удовл 5 усл. => на ней опр f(x,y,z), P(М), Q(М), R(M) – на Ф непр => равн непр. Разбиваем Ф кусочно гладкими кривыми на Фi, не имеющие общих внутр точек. Люб M_i,

∑₁=∑f(M_i)σ_i, ∑₂=∑P(M_i)cosX_iσ_i, ∑₃=∑Q(M_i)cosY_iσ_i, ∑₄=∑R(M_i)cosZ_iσ_i.

Опр. I – предел интегр суммы ∑_s при Δ→0, если люб ε>0 сущ δ>0: незав от выбора M_i |∑_s-I|<ε, Δ<δ

Опр. Если сущ I₁ при Δ→0, то это поверхн интегр первого рода от f по Ф: .

Опр. Если сущ I₂ (3,4) при Δ→0, то это поверхн интегр 2 рода от P (Q,R) по Ф: .

- общий поверхн интегр 2 рода.

1 рода: не зависит от стороны пов-ти, масса пов-ти; 2 рода: меняет знак, поток в-ра через пов-ть. Не зависят от выбора ск. Замкн пов-ть – берем внешнюю нормаль, интегр 2 рода – 1 рода от др ф-ций.

Т. Пусть Ф удовл 5 усл и опис ур-нием r=r(u,v) (гладкая ф-ция), (u,v) из G – замкн, квадр мн-во. f, P, Q, R – непр на Ф, то I_s сущ и: , , …. Д-во. Правые интегр сущ, т.к. ф-ции непрерывны. Все аналог => только I₁. Разобьем Ф и составим => ∑_1. При Δ→0 max р(M,M_i)→0 => из равн непр f : люб ε>0 сущ δ>0 люб M,M_i: р(M,M_i)<δ |f(M)-f(M_i)|<ε/σ (σ – площадь Ф). Пусть Δ<δ .

Зам. Ф – график непр дифф-мой z=z(x,y). , cosZ=1/ => => люб Ф .

26	Преобразование базисов. Инварианты линейного оператора. .

Справка: везде где снизу и сверху встречаются одинаковые индексы, это значит суммирование по этому индексу.

Cкалярное поле на G: каждой точке M из Если не число, а вектор, то векторное.