1 Рода: не зависит от направл, масса кривой; 2 рода: меняет знак, работа силы при перемещ по кривой.

Аналогично в пр-ве.

Опр. L – гладкая, если сущ конечные непрерывные φ'(t), ψ'(t). Особые точки кривой: φ'²(t)+ψ'²(t)=0.

Т. Если L – гладкая и не содержит особых точек и f(x,y), P(x,y), Q(x,y) – непр вдоль L, то криволин инт-лы 1 и 2 рода сущ и: , , . Д-во. Правые интегр сущ, т.к. ф-ции непрерывны. Для Р и Q аналог => только Р. Разобьем [a,b] и состав интегр суммы. => , . Интегралы в условии – I₁, I₂. При Δ→0 maxΔtk→0: Δl_k>=m , . => из равн непр f и P: люб ε>0 сущ δ>0: при Δ<δ : , M=max|φ'(t)|.

Зам. L – кусочно гладкая, если она непр и распадается на конечное число не имеющих общих точек кусков, явл гладкими кривыми. В этом случае криволин интегралы – суммы по кускам. Теорема верна. f, P, Q – кусочно непрерывны => теорема верна. Аналогично в пр-ве.

Зам. Положительное направление – против часовой, криволин интеграл по замкнутому контуру.

Св-ва криволин интеграла:

1. Линейность: .

2. Аддитивность: .

3. Оценка модуля интеграла: .

4. Ф-ла среднего значения: f непр вдоль AB => сущ М на АВ: .

23	Понятие поверхности. Нормаль и касательная к п-ти. Лемма о проекции окрестности точки на касательную плоскость.

Опр. f: G→G* гомеоморфно, если оно взаимнооднозн и взаимнонепр: люб сх-ся {M_n}→сх-ся{M_n*} и ←

Опр. f: G→G* лок гомеом, если у люб точки G сущ окр-ть, кот гомеом отобр на свой образ.

Опр. Обл G на пл-ти Т элементарная, если она явл образом открытого круга при его гомеом отобр на Т.

Опр. Связная обл G на пл-ти Т простая, если люб точка G имеет окр, явл элемент обл-тью.

Опр. Мн-во точек Ф пр-ва – пов-ть, если оно явл образом простой плоск обл-ти G при ее локально гомеом отобр в Е³. Пр. 1. x=u, t=v, z=z(u,v). 2. x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) или r=r(u,v) – вект ф-ция.

Окр т.М из Ф – точки Ф, принадл окр т.М в Е³.

Опр. Пов-ть Ф в пр-ве – гладкая, если у люб точки Ф сущ окр, допуск гладкую параметр-цию: эта окр – образ элемент обл G пл-ти перем (u,v), при след отобр 2, где x, y, z – сущ непр частн произв 1 порядка.

Опр. Т. М гладкой пов-ти – обыкнов, если ранг в т.М =2, иначе точка особая.

Т. Пусть G – простая плоская обл в пл-ти (u,v), гладкое отобр 2 переводит G в мн-во Ф из Е³, rgA=2 во всех точках G => Ф – пов-ть. Д-во. Д-ть, что 2 – лок гомеом отобр G в Ф, т.е. люб N₀(u₀,v₀) имеет окр, кот соотнош 2 гомеом отобр на некот окр M₀(x₀,y₀,z₀) на Ф, x₀=x(u₀,v₀),… Фикс люб N₀ и соотв М₀, rgA|N₀=2 => пусть |N₀<>0 => , x,y непр в G => разрешима неявно задан ф-ций => в некот окр Р т.Р₀(x₀,y₀) сущ ! непр диф решение: u=u(x,y), v=v(x,y) => P опред окр N => первые два соотн 2 осущ гомеом отобр N на P, третье: z=z(u(x,y),v(x,y))=g(x,y) – непр => гомеом отобр Р в М => суперпозиция гомеом отобр => гомеом отобр N в М.

Сл. Каждая обыкнов т. гладкой пов-ти имеет окр, однозн проектир на одну из коорд плоскостей.

Геометр: r=r(u,v). v=v0 => коорд линия - кривая на Ф, вектор - касат к ней, u=u0 => коорд линия, - касат к ней => через М₀ проходят обе линии, касат в-ры неколлинеарны (их компоненты – строки А) => они опред касат пл-ть, норм в-р к ней – в-р нормали к Ф в М₀, - непр в некот окр люб точки Ф => в этой окр сущ непр вект поле нормалей.

Опр. Двусторонняя пов-ть – в целом сущ непр вект поле нормалей, иначе одност (лента Мебиуса).

Опр. Пов-ть огр, если сущ трехмерный шар, содерж все ее точки.

Опр. По-ть полная, если мн-во точек ее составл замкнуто.