Билет 11

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений

с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).

Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что Δ отлично от нуля, не нужно даже, чтобы

коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем

нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы b1,b2,...,bn и x1,x2,...,xn, либо набор c1,c2,...,cn

состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде

формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

Метод Крамера требует вычисления n + 1 определителей размерности. При использовании метода Гаусса для

вычисления определителей, метод имеет временную сложность порядка O(n4), что хуже, чем если бы метод Гаусса

напрямую использовался для решения системы уравнений.

14) Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы

равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу

неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Доказательство (условия совместности системы)

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что

Следовательно, столбец b является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Из того, что

ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец),

которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что .

Достаточность

Пусть . Возьмем в матрице A какой-нибудь базисный минор. Так

как , то он же и будет базисным минором и матрицы B. Тогда согласно теореме о базисном

миноре последний столбец матрицы B будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов

матрицы A. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов

матрицы A.

Следствия

Количество главных переменных системы равно рангу системы.

Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

16) Фундаментальная система решений (фср) представляет собой набор линейно независимых решений

однородной системы уравнений.

Однородные системы

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:

Нулевое решение системы (1) называется тривиальным решением.

Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.

Решения однородной системы обладают свойством линейности:

Теорема (о линейном решении однородных систем).

Пусть — решения однородной системы (1), — произвольные константы.

Тогда также является решением рассматриваемой системы.

Теорема (о ФСР).

Пусть ранг основной матрицы , где n — число переменных системы (1), тогда:

ФСР (1) существует: ;

она состоит из векторов;

общее решение системы имеет вид

Замечание:

Если , n=r то ФСР не существует.