Билет 3

Матричные операции

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица Θ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть

A + Θ = A

Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

Ассоциативность сложения: A + (B + C) = (A + B) + C.

Коммутативность сложения: A + B = B + A.

Ассоциативность умножения: A(BC) = (AB)C.

Вообще говоря, умножение матриц некоммутативно: . Используя это свойство, вводят коммутатор матриц.

Дистрибутивность умножения относительно сложения:

A(B + C) = AB + AC;

(B + C)A = BA + CA.

С учётом упомянутых выше свойств, матрицы образуют кольцо относительно операций сложения и умножения.

Свойства операции транспонирования матриц:

(AT)T = A

(AB)T = BTAT

(A − 1)T = (AT) − 1, если обратная матрица A − 1 существует.

(A + B)T = AT + BT

detA = detAT (T- степень,Вов)

Билет 4

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель

матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество

строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным

кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A).

Свойства определителей

Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность

означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам)

: где и т. д.

— строчки матрицы, — определитель такой матрицы.

При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.

Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.

Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих

элементов параллельного ряда равна нулю.

Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей.

С использованием индексной нотации определитель матрицы 3×3 может быть определён с

помощью символа Леви-Чивита из соотношения:

Определение через разложение по первой строке

Для матрицы первого порядка детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:

Для матрицы детерминант определяется как

Для матрицы определитель задаётся рекурсивно:

, где — дополнительный минор к элементу a1j. Эта формула

называется разложением по строке.

В частности, формула вычисления определителя матрицы такова:

= a₁₁a₂₂a₃₃ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁

Легко доказать, что при транспонировании определитель матрицы не изменяется (иными словами,

аналогичное разложение по первому столбцу также справедливо, то есть даёт такой же результат,

как и разложение по первой строке):

Доказательство

Также справедливо и аналогичное разложение по любой строке (столбцу):

Доказательство

Обобщением вышеуказанных формул является разложение детерминанта по Лапласу

(Теорема Лапласа), дающее возможность вычислять определитель по любым k строкам (столбцам):

Определение через перестановки

Для матрицы n x n справедлива формула:

где α1,α2,...,αn — перестановка чисел от 1 до n, N(α1,α2,...,αn) — число инверсий в перестановке,

суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n. Таким образом, в определитель

войдёт n! слагаемых, которые также называют «членами определителя». Важно заметить, что во

многих курсах линейной алгебры это определение даётся как основное.

Билет5

Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате

которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не

изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному

или ступенчатому виду.

Определение

Элементарными преобразованиями строк называют:

перестановка местами любых двух строк матрицы;

умножение любой строки матрицы на константу , ;

прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу , .

В некоторых курсах линейной алгебры перестановка местами двух строк матрицы не вносятся в определение

элементарных преобразований так как перестановку местами любых двух строк матрицы можно получить

используя умножение любой строки матрицы на константу , и прибавление к любой строке

матрицы другой строки, умноженной на константу ,

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.

Элементарные преобразования обратимы.

Обозначение указывает на то, что матрица A может быть получена из B путём

элементарных преобразований (или наоборот).

Эквивалентность СЛАУ при элементарных преобразованиях

Назовём элементарными преобразованиями над системой линейных алгебраических уравнений:

перестановку уравнений;

умножение уравнения на ненулевую константу;

сложение одного уравнения с другим, умноженным на некоторую константу.

Т.е. элементарные преобразования над её расширенной матрицей. Тогда справедливо следующее

утверждение:

Теорема (о нахождении обратной матрицы).

Пусть определитель матрицы не равен нулю, пусть матрица B определяется выражением

, Тогда при элементарном преобразовании строк матрицы A к единичной матрице

E в составе B одновременно происходит преобразование к .

Приведение матриц к ступенчатому виду

Введём понятие ступенчатых матриц:

Матрица A имеет ступенчатый вид, если:

Все нулевые строки матрицы A стоят последними;

Для любой ненулевой строки матрицы A (пусть для определённости её номер равен k ) справедливо

следующее: если — первый ненулевой элемент строки k, то

Теорема (о приведении матриц к ступенчатому виду).

Любую матрицу путём элементарных преобразований только над строками можно привести к

ступенчатому виду.